PLANAR SATの準指数アルゴリズムは知られていますか？

ツリー幅が最大であるため、一般的なグラフの指数関数的ないくつかのNP困難な問題は、平面グラフ上の準指数ですそして、それらはツリー幅で指数関数的です。 $4.9 \sqrt{|V(G)|}$

基本的に、NP完全なPLANAR SATの準指数アルゴリズムがあるかどうかに興味があります。

ましょう変数のCNF式でありと番目の句である。 $\phi$ $x_i$ $i$ $c_i$

入射グラフのp。5 の頂点にあるとエッジ IFF または。 $G$ $\phi$ $V(G)=\{x_i\} \cup \{c_i\}$ $(x_i,c_i)$ $x_i \in c_i$ $\lnot x_i \in c_i$

入射グラフが平面の場合、はPLANAR SATにあります。 $\phi$

面でPLANAR SATのための準指数のアルゴリズムがある？ $\phi$

これを可能にするためにSATをPLANAR SATに削減する可能性を排除しませんが、SAT は指数関数的であり、はサイズの増加のため準指数関数的です。 $\phi$

graph-theory sat reductions

— ジョロ
ソース

PLANAR SATの定義には追加の条件があり、変数はそれらを循環するように接続する必要があります。説明した内容は、PLANAR * SATとして知られています。

— domotorp

@domotorp正しく引用したと思いますが、論文はグラフが二部構成であると主張しています。他の論文では、同じ名前が何か他のものに使われているかもしれません。

— joro

まあ、あなたは動的なプログラミングと一緒に平面セパレーター定理を適用し、実行時間

、ここで

はグラフ内の頂点の数です。もっと良いものが欲しいと思いますか？

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O( \sqrt{n})}$

n

$n$

— サリエルハーペレ

@ SarielHar-Peled Yoursが答えになります。もっと良いものは必要ありません（ただし、もっと良いものは大歓迎です）。バグは異なる式が同じグラフを持っているかもしれない-リテラルを否定します。

— ジョロ

SATから平面SATへの標準的な削減は、指数時間仮説の下で

は不可能であるため、Sarielのコメントのアルゴリズムは、指数の定数まで最適です。（これはdomotorpがPLANAR * SATと呼ぶものですが、PLANAT SATの下限も表示できると確信しています）

2^{o (\sqrt{n})}

$2^{o(\sqrt{n})}$

— -daniello

まあ、あなたは動的なプログラミングと一緒に平面セパレーター定理を適用し、実行時間、ここではグラフ内の頂点の数です。セパレータ上の変数頂点に可能なすべての割り当てを試行し、セパレータ内の句に記載されているすべての変数を試行するという考え方です（各句には一定数の変数があると仮定）。 $2^{O(\sqrt{n})}$ $n$

節ノードが大きい場合は、もう少し賢くする必要があります。左側のサブ問題に割り当てるか、右側のサブ問題に割り当てるかを推測する必要があります。そのようなことの詳細は、すぐにではなく面倒である傾向があるため、これ以上詳細を説明するつもりはありません。リプトンとタージャンによるオリジナルの論文は、私の記憶が私に役立つなら、同様のアイデアを使って同様の問題を解決したと思います。

— サリエル・ハー・ペレド
ソース

より一般的には、SATフォーミュラの発生率グラフのツリー幅が最大で

であれば、

時間で充足可能性をチェックできることがよく知られています。

個の頂点を持つ平面グラフは、ツリー幅

k

$k$

2^{O (k)} p o l y (| ϕ |)

$2^{O(k)} poly(|\phi|)$

n

$n$

平面セパレータ定理による。より一般的には、固定グラフ

を除くグラフには、ツリー幅

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

ここで、定数は

サイズに依存します。

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

— チャンドラチェクリ

実際、式に

変数と

句がある場合、ツリー幅は最大で

n

$n$

m

$m$

（より粗雑な

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

バウンド）。

O (\sqrt{n + m})

$O(\sqrt{n+m})$

変数は入射グラフの頂点カバーであり、サイズ

頂点カバーを持つ平面グラフはツリー幅

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

n

$n$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

これは、NP困難問題のための2003年のWoegingerの正確なアルゴリズムの演習41でもあります。 dx.doi.org/10.1007/3-540-36478-1_17

— アンドラスサラモン