どのSATの問題は簡単ですか？

充足可能性の「簡単な領域」とは何ですか？言い換えると、SATソルバーが存在することを前提として、満足のいく割り当てを見つけることができるための十分な条件です。

1つの例は、LLLの建設的な証拠のために、各句が他のいくつかの句と変数を共有する場合、それらの行に沿って他の結果はありますか？

信念伝播の容易な領域に関するかなりの文献がありますが、それらの線に沿って満足できるものはありますか？

STOC'78のシェーファーの古典的な結果を知っていると思いますが、念のため。

10.1145 / 800133.804350

シェーファーは、SATがインスタンスで許可されている関係のセットによってパラメーター化されている場合、2つのSAT（つまり、すべての句がバイナリである）、Horn-SAT、dual-Horn-SAT、affine-SAT（ GF（2）の線形方程式の解、0有効（すべて0の割り当てで満たされる関係）、1有効（すべて1の割り当てで満たされる関係）。

これがあなたが探しているものかどうかはわかりませんが、3-SAT相転移についてはかなりの文献があります。

Monasson、Zecchina、Kirkpatrcik、Selman、Troyanskyには、ランダムk-SATの相転移に関する論文がありました。句と変数の比率のパラメーター化を使用しました。ランダム3-SATの場合、遷移点は4.3前後であることが数値的にわかりました。この点を超えると、ランダムな3-SATインスタンスは過剰に制約され、ほぼ確実に不飽和になり、この点を下回ると、問題は制約されて充足可能になります（高い確率で）。 Mertens、Mezard、およびZecchinaは、空洞法の手順を使用して、相転移点をより高い精度で推定します。

重要点から遠く離れて、「ダム」アルゴリズムは、満足できるインスタンス（歩行歩行など）に適しています。私が理解していることから、決定論的ソルバーの実行時間は、相転移またはその付近で指数関数的に増加します（詳細については、こちらを参照してください）。

信念伝播の親coであるブラウンスタイン、メザード、およびゼッキーナは、相転移に非常に近い数百万の変数で満足できる3-SATインスタンスを解決するために報告される調査伝播を導入しました。Mezardは講義あり、ここでスピングラスに（彼はランダムなNP完全相転移の解析に使用していたの理論を）とManevaは講義があり、ここで調査伝播に。

他の方向から見ると、私たちの最高のソルバーは不満足を証明するのに指数関数的な時間を要するようです。不満を証明する一般的な方法（Davis-Putnamの手順と解決方法）の指数的性質の証明/議論については、こちら、こちら、こちらをご覧ください。

ランダムNP完全問題の「容易さ」または「硬さ」の主張には、非常に注意する必要があります。NP完全問題を表示してフェーズを移行しても、困難な問題がどこにあるか、または問題があるかどうかについては保証されません。たとえば、Erdos-Renyiランダムグラフのハミルトニアンサイクル問題は、臨界遷移点またはその付近でも簡単に証明できます。数値分割問題には、確率1または0の範囲に問題を解決するアルゴリズムはないようです。私が理解していることから、ランダムな3-SAT問題には、臨界閾値（調査の伝播、歩行の飽和など）以下の充足可能なインスタンスにうまく機能するアルゴリズムがありますが、不適合を証明するための臨界閾値を超える効率的なアルゴリズムはありません。

十分な条件がたくさんあります。ある意味では、理論的なCSの多くはこれらの条件の収集に費やされています-固定パラメータの扱いやすさ、2-SAT、異なる密度のランダム3-SATなど。

これまでの文献ではこの概念の認識はそれほど広くありませんが、SAT問題の節グラフ（節ごとに1つのノードを持つ節、節が変数を共有する場合はノードが接続されている）、および他の関連グラフSAT表現の例では、インスタンスの平均的な難易度に関する多くの基本的な手がかりがあるようです。

節グラフは、あらゆる種類のグラフ理論アルゴリズムを介して分析でき、明らかに「構造」の自然な尺度であり、硬度の測定/推定との強いつながりがあり、この構造とその意味の研究はまだ初期段階にあるようですステージ。この質問にアプローチするための伝統的でよく研究された方法である遷移点研究が、最終的にこの節のグラフ構造にブリッジされる可能性があることは考えられません（すでにある程度）。言い換えると、SATの遷移点は、節グラフの構造の「ので」存在するように見えるかもしれません。

ここに、これらの線に沿った優れた参考文献の1つ、Herwigによる博士論文がありますが、他にもたくさんあります。

[1] 充足可能性の問題を分解する、またはグラフを使用して充足可能性の問題に関するより良い洞察を得る、Herwig 2006（83pp）

「遷移」ポイントの近くにあるすべてのインスタンスを、希望する「遷移」ポイントから遠くまで移動するのは簡単です。移動には、多項式の時間/空間の努力が伴います。

「遷移」ポイントから遠く離れたインスタンスが解決しやすい場合、遷移ポイント近くのインスタンスも同様に簡単に解決できる必要があります。（多項式変換とすべて。）

$\kappa$

検索中のDP（LL）ソルバーが、次にどの変数がブランチに選択されても、同じ重大な制約を持つサブ問題を見つける傾向があるように、constrainedessパラメーターに対してハードインスタンスの明らかなフラクタル 自己相似構造を見つけます。SATインスタンスのフラクタル構造（SAT式のハウスドルフ次元や硬度との関係など）については、さらにいくつかの分析があります[2,3]

ここでやや相互に関連する別の問い合わせラインは、スモールワールドグラフと（ハード）SAT構造の関係です[4,5]

$\stackrel{?}{=}$

[1] トビー・ウォルシュによる拘束ナイフの刃 1998

[2] NiおよびWenによるグラフ指向反復関数システムの条件で決定された満足できるブール式の自己相似性

[3] SATインスタンスの内部構造の可視化（予備レポート）シンツ

[4] Walsh 1999による小さな世界の検索

[5] Slater 2002によるより現実的なSAT問題のモデリング