理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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プルーフチェッカーのバグがメジャープルーフを無効にしたことはありますか？
ほとんどの（すべて？）証明アシスタントの健全性のバグはときどき修正されます。しかし、私が見た人たちからは、これらのバグは通常、意図せずに遭遇するのが難しく、バグが修正される前に結果が証明されたのは、一般に修正後です。 強さの順に3つの質問： そのような健全性のバグ修正により、プルーフを変更せずに、主要なプルーフが失敗することがありましたか？ （1）が当てはまる場合、プルーフを修正するために大きな修正が必要でしたか？ （2）が当てはまる場合、健全性のバグにより、間違った主要定理を証明した人はいますか？ 「メジャー」の定義は他の人に任せます。
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いくつかのコイントスを使用してバイアスのかかったコインを見つける
研究中に次の問題が発生しましたが、驚くほどクリーンです。 コインのソースがあります。各コインにはバイアス、つまり「頭」に落ちる確率があります。コインごとに独立して、2/3の確率で少なくとも0.9のバイアスがあり、残りの確率では、バイアスは[0,1]の任意の数になります。あなたはコインのバイアスを知りません。どのステップでもできるのは、コインを投げて結果を観察することだけです。 与えられたnに対して、あなたの仕事は、少なくとも確率で少なくとも0.8のバイアスを持つコインを見つけることです。1−exp(−n)1−exp⁡(−n）1-\exp(-n)です。O（n）コイントスだけを使用してそれを行うことはできますか？
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P = NPが真である場合、量子コンピューターは有用でしょうか？
P = NPが真であると仮定します。特定の問題をより迅速に解決するなど、量子コンピューターを構築するための実用的なアプリケーションはありますか、またはP = NPが真であるという事実に基づいて、そのような改善は無関係でしょうか？P！= NPの世界とは対照的に、P = NPの世界で量子コンピューターを構築できる場合、効率の改善をどのように特徴づけますか？ ここに私が探しているものの作り上げた例があります： P！= NPの場合、複雑度クラスABCは量子複雑度クラスXYZと等しいことがわかりますが、P = NPの場合、クラスABCはとにかく関連するクラスUVWに崩壊します。 （動機：私はこれに興味があり、量子コンピューティングには比較的新しいです。不十分な場合はこの質問を移行してください。）
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問題の計算不可能なセットの停止：一般的な数学的証明？
可算のアルゴリズムセット（ゲーデル数で特徴付けられる）では、Nのすべてのサブセットを計算（所属をチェックするバイナリアルゴリズムを構築）できないことが知られています。 証明は次のように要約できます：可能であれば、Nのすべてのサブセットのセットは可算になります（各サブセットに、それを計算するアルゴリズムのゲーデル数を関連付けることができます）。これは誤りなので、結果を証明します。 これは、問題がNのサブセットが可算ではないことと同等であることを示すため、私が気に入っている証拠です。 ここで、この同じ結果（N個のサブセットの不可算性）のみを使用して停止問題を解決できないことを証明したいと思います。これらは非常に近い問題だと思います。このように証明することは可能ですか？
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多項式時間で2つの順列の合計を特定できますか？
最近cs.seで2つの 質問がありましたが、これらは次の質問に関連するか、または次の質問と同等の特別なケースがありました。 ようなシーケンスa1,a2,…ana1,a2,…ana_1, a_2, \ldots a_nのa nがます 二置換の和に分解との、、その結果。nnn∑ni=1ai=n(n+1).∑i=1nai=n(n+1).\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).ππ\piσσ\sigma1…n1…n1 \dots nai=πi+σiai=πi+σia_i = \pi_i + \sigma_i\, いくつかの必要条件があります： がになるようにソートされる場合、aiaia_ia1≤a2≤…≤ana1≤a2≤…≤ana_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\, ∑i=1kai≥k(k+1).∑i=1kai≥k(k+1).\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1). ただし、これらの条件は十分ではありません。このmath.seの質問の答えから、シーケンス5,5,5,9,9,9は2つの順列の合計として分解することはできません（1または5の両方が4）とペアになります。 私の質問は、この問題の複雑さは何ですか？
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「XがNP完全」とは、「＃Xが#P完全」を意味しますか？
ましょ NPで表すA（決定）問題をし、＃聞かせXは、そのカウントバージョンを表します。XXXXXX どのような条件下で「XはNP完全」であることが知られています ⟹⟹\implies 「#Xは＃P-complete」ですか？ もちろん、par約的な削減の存在はそのような条件の1つですが、これは明白であり、私が認識している唯一のそのような条件です。最終的な目標は、条件が不要であることを示すことです。 正式に言えば、一つは計数問題＃1で始まる必要があり関数によって定義されるF ：{ 0 、1 } * → N、次に決定問題を定義Xを上に入力された文字列SとしてF （S ）≠ 0？XXXf:{0,1}∗→Nf:{0,1}∗→Nf : \{0,1\}^* \to \mathbb{N}XXXsssf(s)≠0f(s)≠0f(s) \ne 0
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正規関数を使用したプログラミング言語
すべての関数が標準的な形式を持つ（関数型の）プログラミング言語はありますか？つまり、すべての入力セットに対して同じ値を返す2つの関数はすべて同じ方法で表されます。たとえば、f（x）がx + 1を返し、g（x）がx + 2を返した場合、f（f（x ））およびg（x）は、プログラムのコンパイル時に区別できない実行可能ファイルを生成します。 おそらくもっと重要なのは、プログラムの正規表現に関する詳細情報をどこで/どのように見つけることができるかということです（グーグルの「正規表現プログラム」は実りが少ないです）質問するのは自然な質問のように思えますが、探しているものの適切な用語がわからないのではないかと心配しています。そのような言語をチューリング完全にすることが可能かどうか、そうでなければ、そのような特性を保持しながらプログラミング言語をどれだけ表現できるかについて興味があります。 私の背景はかなり限られているため、前提条件の少ないソースを好むでしょうが、より高度なソースへの参照もクールかもしれません。
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Valiant-Vaziraniのランダム化を解除しますか？
ヴァリアント-Vazirani定理は言うこと正確に一つ満足割り当てを有するSAT式、及び充足式を区別するための多項式時間アルゴリズム（決定論的またはランダム化）がある場合-次に、NP = RPを。この定理は、UNIQUE-SATがNP困難であることをランダム化簡約の下で示すことによって証明されます。 もっともらしいデランダム化の推測を前提として、定理は「UNIQUE-SATの効率的な解決策はNP = Pを意味する」まで強化できます。 私の最初の本能は、3SATからUNIQUE-SATへの決定論的な削減が存在することを暗示していると考えることでしたが、この特定の削減をどのようにランダム化解除できるかは明確ではありません。 私の質問は：「デランダム化削減」について何が信じられているか、知られているのか？それは可能ですか？VVの場合はどうですか？ UNIQUE-SATはランダム化された削減の下でPromiseNPに対して完全であるため、デランダム化ツールを使用して、「UNIQUE-SATの決定論的多項式時間解はPromiseNP = PromisePを意味するか？
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共通部分列
文字列には2n2n2^nサブシーケンスがありますが、通常はすべてが異なるわけではありません。サブシーケンスの最大頻度を見つけることの複雑さは何ですか？ たとえば、文字列「subsequence」にはサブシーケンス「sue」のコピーが7つ含まれており、これが最大です。 http://ideone.com/UIp3tのブルートフォースコードのサンプル 関連する構造定理はありますか？これらは両方とも偽であることが判明しました。 最大頻度サブシーケンスの最長は一意です 任意の長さ-の最大周波数kkkサブシーケンスは単峰性であるkkk おそらく関連するリンク： ＃明確なサブ配列を数える∈P∈P\in \mathbf{P} http://11011110.livejournal.com/254164.html 複数のソースの関連コンテストの問題http://www.spoj.pl/problems/CSUBSEQS/ 関連論文http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2008.08.035 10日後に編集：ご覧いただきありがとうございます！これにより、多項式時間で解けるプログラミングコンテストの問題が発生するのではないかと考えていました。私はそうは思いませんが、後でもう一度考えたいと思います。
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NP中間ステータスの自然な候補者が少ないのはなぜですか？
ラドナーの定理では、場合、無限に多くの -intermediate（）問題が存在することがよく知られています。グラフ同型など、このステータスの自然な候補もあります。PとNPC間の問題を参照してください 。それにもかかわらず、既知の問題の群れの大多数は、またはいずれかにあることが知られています。それらのごく一部のみが候補のままです。つまり、自然なをランダムに選択した場合、N P N P IP ≠ N PP≠NP{\mathsf P}\neq \mathsf {NP}N PNP\mathsf {NP}N P INPI\mathsf{NPI}N P P N P C N P I N PN T uはrはLnaturalnatural N PNP\mathsf {NP}PP\mathsf {P}N P CNPC\mathsf {NPC}N P INPI\mathsf {NPI}N PNP\mathsf {NP}-既知の問題の中で、候補を選択する機会はほとんどありません。この現象の説明はありますか？N P INPI\mathsf {NPI} 哲学的な側面については、考えられる3つの説明を考えることができました。 自然な候補が非常に少ないのは、 が最終的に空になるためです。私は知っています、これは意味するので、非常にありそうにないです。（私はそのうちの一つではないですが）それにもかかわらず、人はまだ自然の希少性と主張する可能性がの問題が実際にサポートするように見える経験的な観察である対照的に、他のほとんどの観測に。N P I P …
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NPIはP / polyに含まれていますか？
これは、と推測されるNPPNP⊈P/poly\mathsf{NP} \nsubseteq \mathsf{P}/\text{poly}逆は暗示するのでPHPH=Σ2\mathsf{PH} = \Sigma_2。ラドナーの定理は、PNPP≠NP\mathsf{P} \ne \mathsf{NP}場合、NPINPNPCPNPI:=NP∖(NPC∪P)≠∅\mathsf{NPI} := \mathsf{NP} \setminus(\mathsf{NPC} \cup \mathsf{P}) \ne \emptyset。しかし、証拠は一般にしていないようPP/poly\mathsf{P}/\text{poly}可能のでNPIPNPI⊂P/poly\mathsf{NPI} \subset \mathsf{P}/\text{poly}すなわちNPNPCPNP⊂NPC∪P/poly\mathsf{NP} \subset \mathsf{NPC} \cup \mathsf{P}/\text{poly}は開いているようです。 NPPNP⊈P/poly\mathsf{NP} \nsubseteq \mathsf{P}/\text{poly}（または、多項式階層がどのレベルでも崩壊しないと仮定した場合）は、NPIPNPI⊂P/poly\mathsf{NPI} \subset \mathsf{P}/\text{poly} trueまたはfalseであることがわかっていますか？それに対して賛否両論することができる証拠は何ですか？
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BPPとデランダム化の階層
一文では：階層の存在は、結果を意味しますか？B P T I M EBPTIME\mathsf{BPTIME} 関連するがあいまいな質問は次のとおりです。階層の存在は、困難な下限を意味しますか？この問題の解決は、複雑さの理論における既知の障壁にぶつかりますか？B P T I M EBPTIME\mathsf{BPTIME} この質問に対する私の動機は、階層を表示することの相対的な難しさ（複雑性理論の他の主要な未解決問題に関して）を理解することです。私は誰もがそのような階層が存在すると信じていると仮定していますが、そうでないと思う場合は私を修正してください。BPTIMEBPTIME\mathsf{BPTIME} 背景：は、エラーの制限された確率で時間確率的ターニングマシンによってメンバーシップを決定できる言語が含まれています。より正確には、言語確率的チューリングマシンが存在し、任意のに対してマシンが時間少なくとも確率で受け入れ、任意の、は時間で実行され、少なくとも確率で拒否します。F （N ）L ∈ B P T I M E（F （N ））T X ∈ L T O （F （| X |））2 / 3 X ∉ L T O （f （| x |））2BPTIME(f(n))BPTIME(f(n))\mathsf{BPTIME}(f(n))f(n)f(n)f(n)L∈BPTIME(f(n))L∈BPTIME(f(n))L \in \mathsf{BPTIME}(f(n))TTTx∈Lx∈Lx \in LTTTO(f(|x|))O(f(|x|))O(f(|x|))2/32/32/3x∉Lx∉Lx \not …
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複雑さの結果の多項式法
多項式法は、コンビナトリアルヌルステルレンサッツとシュヴァレー-警告の定理は、加算的組み合わせ論の強力なツールであると言います。問題を適切な多項式で表すことにより、解の存在、または多項式の解の数を保証できます。それらは、制限された和集合やゼロサム問題などの問題を解決するために使用されてきました。 私にとって、これらのメソッドの非構築的な方法は本当に驚くべきものであり、これらのメソッドを適用して、複雑なクラスの興味深い包含および分離を証明する方法に興味があります（結果が他のメソッドで解決できる場合でも）。 多項式法で証明できる複雑な結果はありますか？
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AND ORゲートとXORゲートを備えた境界深さ回路で記述されたフーリエ係数ブール関数
してみましょうブール関数であるとののから関数としてFについて考えてみましょうに。この言語では、fのフーリエ展開は、単に平方自由単項式に関するfの展開です。（これらの単項式は、の実関数の空間の基礎を形成します。係数の2乗和は単純にため、は2乗のない単項式の確率分布になります。この分布をF分布と呼びましょう。fff{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n{−1,1}{−1,1}\{ -1,1 \}2n2n2^n{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n111fff fが多項式サイズの有界深度回路によって記述できる場合、F分布はサイズの単項式にほぼ指数関数的に小さい重みに集中していることが、Linial、Mansour、およびNisanの定理によってわかり。これは、Hastadスイッチング補題から派生しています。（直接的な証明が最も望ましいでしょう。）polylog npolylog n\text{polylog } n mod 2ゲートを追加するとどうなりますか？考慮すべき一つの例は、関数であるに最初のn個の変数と最後のn個の変数のMOD 2内積として記載される変数。ここで、F分布は均一です。IP2nIP2nIP_{2n}2n2n2n 質問：ブール関数のF分布は、境界のある深さの多項式サイズAND、OR、MOD回路によって記述され、 「レベル」に集中しますか（超多項式的に小さな誤差まで）？22_2o(n)o(n)o(n) 備考： 反例への可能性のあるパスの1つは、バラバラの変数セットにさまざまなIPを「何らかの方法で接着」することですが、その方法はわかりません。おそらく質問を弱め、変数にいくつかの重みを割り当てることを許可する必要がありますが、それを行うための明確な方法も見当たりません。（したがって、これら2つの事項を参照することも、私が尋ねていることの一部です。）2k2k_2k modゲートを許可する場合にも、質問（または成功したバリエーション）に対する肯定的な答えが適用されると推測します。（それで、質問をすることは、ライアン・ウィリアムズの最近の印象的なACC結果によって動機づけられました。） kk_k MAJORITYの場合、F分布は「レベル」ごとに大きくなります（1 / poly）。 Lucaが示すように、私が尋ねた質問に対する答えは「いいえ」です。残る問題は、AND ORで記述できるブール関数のF分布のプロパティを見つける方法と、MAJORITYで共有されないmod 2ゲートを見つける方法を提案することです。 MONOTONE関数について説明することにより、質問を保存する試み： 質問：MONOTONEブール関数のF分布は、境界のある深さの多項式サイズAND、OR、MOD回路で記述され、 「レベル」に集中しますか（超多項式的に小さな誤差まで）？22_2o(n)o(n)o(n) を置き換えることもできるのではないかと推測するかもしれないので、この強力なバージョンの反例は興味深いかもしれません。 o(n)o(n)o(n)polylog(n)polylog(n)\text{polylog} (n)
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グラフ同型のcoNP証明書
グラフ同型（GI）がNPにあることは簡単にわかります。GIがcoNPにあるかどうかは、大きな未解決の問題です。GIのcoNP証明書として使用できるグラフのプロパティの潜在的な候補はありますか。を暗示する推測はありますか？は、どのような意味がありますか？G I ∈ C O N PG I∈ C O NPG私∈coNPGI \in coNPG I∈ C O NPG私∈coNPGI \in coNP
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