いくつかのコイントスを使用してバイアスのかかったコインを見つける

研究中に次の問題が発生しましたが、驚くほどクリーンです。

コインのソースがあります。各コインにはバイアス、つまり「頭」に落ちる確率があります。コインごとに独立して、2/3の確率で少なくとも0.9のバイアスがあり、残りの確率では、バイアスは[0,1]の任意の数になります。あなたはコインのバイアスを知りません。どのステップでもできるのは、コインを投げて結果を観察することだけです。

与えられたnに対して、あなたの仕事は、少なくとも確率で少なくとも0.8のバイアスを持つコインを見つけることです。 $1-\exp(-n)$ です。O（n）コイントスだけを使用してそれを行うことはできますか？

ds.algorithms pr.probability

— ダナ・モシュコヴィッツ
ソース

以来、私にとって非常に考えにくい

投げ与えられたコインが自信を持って、高バイアスであるか否かを決定するためにだけ必要とされているように見える

。（私たちは同様に各コインはバイアスを持っていると仮定することができるいずれかの

または

。）あなたがより良いものを持っています

投げ？

O (n)

$O(n)$

1 - \exp (- n)

$1-\exp(-n)$

0.9

$0.9$

0.8 - ϵ

$0.8-\epsilon$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— -usul

私は数学をチェックしませんでしたが、次のアイデアは有望に見えます：各コインに対して（連続して）次のテストを行います。パラメーター

を

など）、コインを使用してライン上でランダムウォークを実行します。ですべてのステップ

離れてからドリフト場合、

未満である

、コインを破棄する。バイアス.9のコインは、一定の確率でこのテストに合格する必要があり、失敗したコインは、

に非常に近いバイアスを持つコインを除いて、O（1）ステップの後に失敗します。ピッキング

間でランダムに

と

、各コインのためには、この問題を解決することがあります。

p

$p$

0.85

$0.85$

i

$i$

0

$0$

p \cdot i

$p \cdot i$

p

$p$

p

$p$

.84

$.84$

.86

$.86$

— ダニエル

う

大丈夫？

トスで解決策を知っていますか？

O (n \log n)

$O(n\log n)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— ロビンコタリ

観察＃1：すべてのコインに少なくとも0.9または最大0.8のバイアスがあることがわかっている場合、O（n）を使用して確率1-exp（-n）で少なくとも0.9のバイアスを持つコインを見つけることができたでしょう：i = 1,2,3、...の場合、コインを2 ^ i回投げ、頭の割合が少なくとも0.89であるかどうかを確認します。そうでない場合は、新しいコインで再起動します。重要な補題：フェーズiで再起動する場合、コイントスが2 ^ {i + 1}未満で、問題は最大でexp（-\ Omega（i））です。

— ダナモシュコビッツ

O（nlogn）の反転が必要かつ十分である可能性は十分にありますが、まだその証拠はありません。

— ダナモシュコビッツ

以下は、かなり単純な $O(n \log n)$ トスアルゴリズムです。

想定 $1-\exp(-n)$ 我々が目指している誤り確率です。してみましょう $N$ いくつかのパワーも $2$ と言う間にある $100n$ および $200n$ （ちょうどいくつかの大きな十分な一定の時間 $n$ ）。コインの候補セット $C$ を維持します。最初に、 $N$ コインを $C$ 入れます。

以下のために今 $i=1,\dots,\log N$ 行い、以下：
トスの各コイン $C$ のために $D_i = 2^i 10^{10}$ 回（ちょうどいくつかの大きな十分定数）。ほとんどの頭でコインを
保管してください。 $N/2^i$

この証明は、いくつかのチェルノフ境界に基づいています。主なアイデアは、毎回候補者の数を半分にして、各コインのトスを2倍にする余裕があるということです。

— カスパー・グリーン・ラーセン
ソース

（1）証拠をより詳細に書き留めておくといいでしょう-この問題の難しさの多くは、チェルノフ限界の閾値をどこに置くかです（0.9バイアスコインからどれだけの頭が見えると思いますか？）。（2）nlognコイン投げが必要であることを示すことができますか？

— ダナモシュコビッツ

微妙な点は次のとおりです。n個のコインから始めます。n個の小さなprob expを除いて、バイアス0.9の少なくとも0.6n個のコインがあります。0.9バイアスコインが0.8未満のバイアスを持つコイン（常に頭に落ちることがあります！）、バイアス0.8 + 1 / logn、...、n /バイアス0.9-1 / log nの10枚のコイン。同様の方法で続行します。選択されたコインのバイアスは、反復ごとに低下し、バイアス<0.8のコインが残るまで続きます。

— ダナモシュコヴィッツ

これは、多かれ少なかれ、エヴァン・ダーらのメディアン除去アルゴリズムです。al。「多腕バンディット問題における探検のサンプルの複雑さ」のMannorとTsitsiklisに示されているように、この場合のようにターゲットバイアスがわかっている場合に、予想される

コイントスを取得するために使用できます。

O (n)

$O(n)$

— クリストファーアーンスフェルトハンセン

参照いただきありがとうございます！必要なコイントスの最大数に興味があり、この場合、n ^ 2の下限を示しています。しかし、彼らが考える問題は私のものとは異なります。それらにはn個のコインがあり、最も偏っているコインが1つだけである可能性があり、同様のバイアスを持つコインを見つけたいと考えています。私の設定では、許容可能なバイアスを持つ少なくとも0.6nのコインがあることを知っています（nの指数関数的に小さい問題を除く）。

— ダナモシュコヴィッツ

私たちの問題では、

トスは簡単だと予想されます。最初のコインから始めて、

表記の大きな定数に対して

トスを行います。それが少なくとも

回頭に出てきたら、それを返してください。それ以外の場合は、次のコインに進みます。正しさの確率は

と確率で0.9バイアス独立して入力されたコインによって

、到達する確率

O (n)

$O(n)$

m = Θ (n)

$m=\Theta(n)$

Θ (\cdot)

$\Theta(\cdot)$

0.85 m

$0.85m$

1 - \exp (- n)

$1-\exp(-n)$

2 / 3

$2/3$

i

$i$ 「番目の硬貨がある未満

とは、このように投げの期待数である

。

(1 / 2)^{i}

$(1/2)^i$

\sum_{i = 0}^{\infty} m / 2^{i} = O (m) = O (n)

$\sum_{i=0}^\infty m/2^i = O(m) = O(n)$

— キャスパーグリーンラーセン