NPIはP / polyに含まれていますか？

これは、と推測される$\mathsf{NP} \nsubseteq \mathsf{P}/\text{poly}$逆は暗示するので$\mathsf{PH} = \Sigma_2$。ラドナーの定理は、$\mathsf{P} \ne \mathsf{NP}$場合、$\mathsf{NPI} := \mathsf{NP} \setminus(\mathsf{NPC} \cup \mathsf{P}) \ne \emptyset$。しかし、証拠は一般にしていないよう$\mathsf{P}/\text{poly}$可能ので$\mathsf{NPI} \subset \mathsf{P}/\text{poly}$すなわち$\mathsf{NP} \subset \mathsf{NPC} \cup \mathsf{P}/\text{poly}$は開いているようです。

$\mathsf{NP} \nsubseteq \mathsf{P}/\text{poly}$（または、多項式階層がどのレベルでも崩壊しないと仮定した場合）は、$\mathsf{NPI} \subset \mathsf{P}/\text{poly}$ trueまたはfalseであることがわかっていますか？それに対して賛否両論することができる証拠は何ですか？

ここに、ラディングの定理のシェーニングの一般化に基づいた、パディング引数の可能な代替案があります。この議論を理解するには、このペーパーにアクセスする必要があります（残念ながら多くの人にとっては有料の壁の後ろにあります）。

ウーヴェ・シェーニング。複雑度クラスの対角線セットを取得するための統一アプローチ。Theoretical Computer Science 18（1）：95-103、1982年。

次のように、とが言語であり、とが複雑度クラスである場合、その論文の主定理を適用します。$A_1$$A_2$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$

• $A_1 = \varnothing$（または任意の言語）$\mathsf{P}$
• $A_2 = \text{SAT}$
• $\mathsf{C}_1 = \mathsf{NPC}$
• $\mathsf{C}_2 = \mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly}$

わかりやすくするために、証明する事実は意味します。$\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$$\mathsf{NPI} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

仮定の下我々がと。とが有限の変化の下で閉じていることは明らかです。シェーニングの論文には、が再帰的に提示可能であるという証拠が含まれており（その正確な定義は論文で見つけることができます）、議論の最も難しい部分はが再帰的に提示可能であることを証明することです$\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$$A_1\not\in\mathsf{C}_1$$A_2\not\in\mathsf{C}_2$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$

これらの仮定の下で、定理はももない言語が存在することを意味します。そして、与えられた場合、はカープ可能であり、したがってであると考えられます。ことを考えるとであるなくもない -completeずに、その次。$A$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$$A_1\in\mathsf{P}$$A$$A_2$$A\in\mathsf{NP}$$A$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly}$$\mathsf{NPI} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

が再帰的に提示可能であることを証明するために残っています。基本的にこれは、すべての入力ですべて停止し、である決定論的チューリングマシンシーケンスの明示的な記述があることを意味します。。私の議論に間違いがある場合はおそらくここにあり、本当にこの結果を使用する必要がある場合は、慎重に行う必要があります。とにかく、すべての多項式時間の非決定的チューリングマシン（これは各実行時間を気にしないため、決定論的にシミュレートできます）$\mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly}$$M_1, M_2, \ldots$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly} = \{L(M_k):k=1,2,\ldots\}$$M_k$）およびすべての多項式は、特定の言語のブール回路ファミリのサイズの上限を表すため、有効な列挙を取得することは難しくないと考えています。本質的に、各は、対応する多項式時間NTMが、可能なすべてのブール回路を検索することによって与えられる入力文字列の長さまでの多項式サイズ回路のファミリーと一致することをテストできます。合意がある場合、はNTMが出力するように出力し、そうでない場合は拒否します（結果として有限言語を表します）。$M_k$$M_k$

議論の背後にある基本的な直観（シェーニングの結果の中に隠されている）は、2つの「素敵な」複雑なクラス（つまり、再帰的なプレゼンテーションを持つクラス）が互いにばらばらになって座り合うことは決してできないということです。複雑なクラスの「トポロジ」では許可されません。入力長を非常に長く伸ばすために、何らかの方法で2つのクラスを交互に切り替えることにより、2つのクラス間で常に適切に言語を構築できます。ラドナーの定理はおよびについてこれを示しており、シェーニングの一般化により、他の多くのクラスについても同じことができます。$\mathsf{P}$$\mathsf{NPC}$

コメントに記載されているように、パディング引数のバージョンを書き留めたいだけです。なぜギャップが必要なのかわかりません。NPがP / polyに含まれていない場合、P / polyに含まれていないNP中間問題があることを示したいと思います。

非有界関数がある SAT未満のサイズの回路を持たないように、そのための機能が存在する無制限で、増加、及び。SAT 'を、長さ SAT文字列をパディングすることによって取得した言語を示します。次に：$f$$n^{f(n)}$$g$$g(n)=o(f(n))$$n$$n^{g(n)}$

• SAT 'はNPにあります（以下を参照してください！）
• SAT 'はP / polyにありません。SAT'のサイズが回路を、SATのサイズが回路が得られますが、これは未満ですいくつかの。$n^k$$n^{g(n)k}$$n^{f(n)}$$n$
• SATからSAT 'へのP / polyの削減はありませんのゲートを許可する、SATのサイズ回路があるという矛盾を想定します。となる十分な大きさの選択し、ます。各SAT 'ゲートには、最大入力があります。パディング入力を削除することで、 SAT 'ゲートを未満の入力を持つSATゲートにトリミングできます。これは、を使用してシミュレートできます-結果のSAT'ゲートは最大で入力。これを繰り返してを手動で処理すると、SATのサイズは約$C_n$$n^k$$N$$g(\sqrt{N}) > 2k$$n>N$$C_n$$n^k$$C_n$$\sqrt{n}$$C_{\sqrt{n}}$$n^{k/2}$$C_N$$O(n^k n^{k/2} n^{k/4} \dots) \approx O(n^{2k})$未満であるいくつかのために。$n^{f(n)}$$n$

編集：

の選択はやや面倒です。NPの約束バージョンにSAT 'を入れて満足している場合、このビットは不要です。$g$

SATの長さ文字列に対してサイズの回路がないように、を最大整数に定義します。を計算し、時間またはときに停止し、この時間で見つかった最高値の平方根のフロアを返すアルゴリズムによって定義します。したがって、は無制限で、およびは時間で計算できます。ここで、上記の引数は、無限に多くのに対してサイズの回路を持たないSATのみに依存することに注意してください。$f(n)$$n^{f(n)}$$n$$g(n)$$f(m)$$m=1,2,\dots$$n$$m=n$$g(n)$$\liminf g(n)/f(n)=0$$g(n)$$n$$n^{f(n)}$$n$。

また、http：//blog.computationalcomplexity.org/media/ladner.pdfのように、SATに穴を開けて証明するのも面白いと思います。NP要件がなければ、これは非常に簡単です。回路osサイズが長さ SAT文字列を検出しないようなシーケンスがあります。SATを一部のの長さ文字列に制限します。$n_1<n_2<\dots$$(n_k)^k$$n$$n_{2^{2^i}}$$i$

（NPI P / poly）（P NP）$\nsubseteq$$\implies$$\neq$