P = NPが真である場合、量子コンピューターは有用でしょうか？

P = NPが真であると仮定します。特定の問題をより迅速に解決するなど、量子コンピューターを構築するための実用的なアプリケーションはありますか、またはP = NPが真であるという事実に基づいて、そのような改善は無関係でしょうか？P！= NPの世界とは対照的に、P = NPの世界で量子コンピューターを構築できる場合、効率の改善をどのように特徴づけますか？

ここに私が探しているものの作り上げた例があります：

P！= NPの場合、複雑度クラスABCは量子複雑度クラスXYZと等しいことがわかりますが、P = NPの場合、クラスABCはとにかく関連するクラスUVWに崩壊します。

（動機：私はこれに興味があり、量子コンピューティングには比較的新しいです。不十分な場合はこの質問を移行してください。）

スコットアーロンソンによる論文「BQPと多項式階層」は、あなたの質問に直接対処しています。P = NPの場合、PHは崩壊します。さらにBQPがPHにある場合、その場合、量子高速化は不可能です。一方、アーロンソンはPH外での量子高速化の問題の証拠を提供しているため、そのような高速化はPHの崩壊を乗り切るでしょう。

答えは明確です。量子コンピューターは間違いなく有用です。

量子コンピューターは、BQPのオラクルではなく、量子状態を処理し、量子状態を使用して通信できるデバイスです。非決定的クエリを作成する機能が、P対NPの状態に関係なく、純粋に決定的クエリを作成する機能よりも根本的に強力であるように（実際、これはOracle分離のルートです）、量子クエリを作成する機能量子状態を使用して通信することは、純粋に古典的な対応よりも根本的に強力です。

これは、幅広いアプリケーションでの利点につながります

1. オラクルまたは外部データベースを重ね合わせて照会する機能は、照会の複雑さの点で、量子コンピューターと従来のコンピューターを証明可能な分離を提供します。
2. 量子通信が使用される通信コストの大幅な削減を実現するさまざまな通信タスクがあります。
3. 量子情報処理は、古典的に可能であるよりも広範囲の問題に対して、理論的に安全なプロトコルの情報を可能にします。確かに、QKDではユニバーサル量子コンピューターを実装する必要はありませんが、他のタスクの多くのプロトコルでは実装する必要があります。
4. 絡み合った大きな量子状態の前処理および後処理により、計測のショットノイズ制限に違反することができ、より正確な測定が可能になります。

複雑さの議論とは別に、量子コンピューターが必要なもう1つの実用的な理由があります。最近の古典的なコンピューターで処理されるデータの多くは、自然界の検知から派生しています（たとえば、デジタルカメラのCCDを介して）。ただし、このような測定では、測定結果を古典的なビット列としてレンダリングするために、システムに関する情報が必ず失われます（たとえば、光子の空間的な重ね合わせの崩壊）。最初にデータを記録します。したがって、量子状態を処理前に何らかの方法で折りたたむのではなく、直接保存および処理する機能がますます望まれると信じることは合理的です。

実用的な部分に対処します。

$P=NP$$O(n^{2^{10^3}})$

$O(n^{10^{10000}})$

私の知る限り、この場合、十分に強力な量子コンピューターが実用的な関心事になります。

BQPと多項式階層PHの関係に関する研究があります。たとえば、BQPがPH（http://arxiv.org/abs/0910.4698）に含まれていないという問題と、相対化されていない世界（http://arxiv.org）で同じ結果を証明する推測があります/abs/1007.0305$P^{\# P}\subseteq BPP^{PH}$

結論として、量子コンピューターの正確な能力はわかりませんが、BQPがPHの外側にある可能性を示唆する結果があります。