NP中間ステータスの自然な候補者が少ないのはなぜですか？

ラドナーの定理では、場合、無限に多くの -intermediate（）問題が存在することがよく知られています。グラフ同型など、このステータスの自然な候補もあります。PとNPC間の問題を参照してください 。それにもかかわらず、既知の問題の群れの大多数は、またはいずれかにあることが知られています。それらのごく一部のみが候補のままです。つまり、自然なをランダムに選択した場合、N P N P ${\mathsf P}\neq \mathsf {NP}$$\mathsf {NP}$$\mathsf{NPI}$N P P N P C N P I N $natural$ $\mathsf {NP}$$\mathsf {P}$$\mathsf {NPC}$$\mathsf {NPI}$$\mathsf {NP}$-既知の問題の中で、候補を選択する機会はほとんどありません。この現象の説明はありますか？$\mathsf {NPI}$

哲学的な側面については、考えられる3つの説明を考えることができました。

1. 自然な候補が非常に少ないのは、 が最終的に空になるためです。私は知っています、これは意味するので、非常にありそうにないです。（私はそのうちの一つではないですが）それにもかかわらず、人はまだ自然の希少性と主張する可能性がの問題が実際にサポートするように見える経験的な観察である対照的に、他のほとんどの観測に。N P I P = N P N P I P = N $\mathsf {NPI}$$\mathsf {NPI}$${\mathsf P} =\mathsf {NP}$$\mathsf {NPI}$${\mathsf P} =\mathsf {NP}$

2. 「natural-」の小ささは、簡単な問題と難しい問題の間の一種の鋭い相転移を表しています。どうやら、意味のある、自然なアルゴリズムの問​​題は、簡単または難しい傾向があるように振る舞い、遷移は狭いです（しかし、まだ存在しています）。$\mathsf {NPI}$

3. 2の引数は極端に取ることができます。最終的に、「natural-」のすべての問題はに入れられますが、なので、。これは、残っているすべての問題を意味しますP ∪ N P C P ≠ N P N P I ≠ ∅ N P $\mathsf {NPI}$$\mathsf {P} \cup \mathsf {NPC}$${\mathsf P}\neq \mathsf {NP}$$\mathsf {NPI}\neq \emptyset$$\mathsf {NPI}$「不自然」である（実際の意味を持たない）これの解釈は、自然の問題は簡単か難しいかのどちらかです。遷移は、「物理的」な意味のない、論理的な構造にすぎません。これは、完全に論理的であるが、物理量の測定値としては生じない無理数の場合を幾分連想させます。そのため、それらは物理的な現実に由来するものではなく、むしろその現実の「論理的閉鎖」にあります。

どの説明が一番好きですか、または別の説明を提案できますか？

他の人が指摘したように、あなたが説明しようとしていることはどの程度真実であるかは議論の余地があります。60年代と70年代には、理論的なコンピューター科学者は、PまたはNP完全のいずれかであることが判明した種類の問題にのみ関心があったと主張することができます。今日、複雑性の増加-理論的暗号化、量子コンピューティング、ラティスなど-とNP完全性が非常によく理解されたという単純な事実のために、私たちはますます興味を持ち始めましたNP中間であることが判明した種類の問題。

それでも、物事が真実である限り、つまり、非常に多くの自然な検索と最適化の問題がNP完全またはPのいずれかに「スナップ」する程度まで、 、なぜ本当ですか？ここでは、計算の初期の現象、つまり、非常に多くの自然な計算モデルがチューリング完全になるまで「スナップ」するということで、多くの直観を得ることができると思います。その場合、説明は、いくつかの基本的なコンポーネント（読み取り/書き込みメモリ、ループ、条件など）を取得したら回避するのは難しいということですチューリングマシンをシミュレートできるため、チューリング完全です。ほぼ同じ方法で、検索または最適化の問題にいくつかの基本的なコンポーネントがあれば、最も重要なことは、AND、OR、NOTなどの論理ゲートを模倣する「ガジェット」を構築できることです。 SATをエンコードするため、NP完全です。

私が考えているように、SATのような問題は、近くにある他のすべての計算問題に強力な「重力引き」を及ぼし、NP完全にも「スナップアップ」したいと考えています。そのため、通常、別の問題がそのプルに失敗しても、特別な説明さえ必要ありません！もっと印象的で、さらに説明が必要なのは、（明らかに）困難なNP問題に、SATの重力による引っ張りに抵抗する性質がある場合です。次に知りたいのは、そのプロパティは何ですか？ ブール論理ゲートをエンコードするガジェットを構築するこの問題に対して、通常のNP完全性のトリックをプレイできないのはなぜですか？この最近のCS.SEの回答では、その質問に対する一般的な回答のリストを作成しました、しかし（別のコメンターがすでに指摘したように）私が見逃した他の可能な答えがあります。

多くの自然の問題は制約充足問題として表現でき、CSPには二分法定理があります。

冗談です：スコットアーロンソンのいい答えで「SAT引力」について考えた後、別のメタフォアが思い浮かびました：3-SAT 2-SATサンドイッチ！

...しかし、サンドイッチが天然成分で満たされているかどうかはわかりません（ただし、-指数時間仮説が真の場合-SATソース[1] :-D$(2 + \frac{(\log n)^k}{n^2})$

[1]の別の結果は、で埋めることができないことです。$(2+1/n^{2−\epsilon}),0<\epsilon<2$

[1] Yunlei Zhao、Xiaotie Deng、CH Lee、Hong Zhu、 SATとその特性$(2+f(n))$、Discrete Applied Mathematics、Volume 136、Issue 1、30 January 2004、Pages 3-11、ISSN 0166 -218X。

自然な 中間的な問題がたくさんあるという4 番目の可能性を排除することはできません。見かけの希少性が必要なテクニックやツールが不足しているためであることを証明するために必要なN 、P、いくつかの妥当な複雑さの推測の下で-中間の状態を（アローラとバラクは、私たちが証明できないことに注意N Pの任意の天然の-中間状態N Pのも、仮定の問題Pを≠ N P）。$NP$$NP$$NP$$NP$$P \ne NP$

自然な中間問題の水門は開いているようです。Jonsson、Lagerkvist、およびNordhは、問題の吹き出し穴として知られるLadnerの対角化手法を拡張し、制約充足問題に適用しました。N P中間ステータスの候補であるCSPを取得しました。彼らは、命題a致問題にはN Pの中間断片があることを証明した。$NP$$NP$$NP$

また、GroheはF P T ≠ W [ 1 ]であると仮定して中間CSP問題の存在を証明しました。彼は、対応する原始グラフのツリー幅を制限することにより、このような問題を取得しました。$NP$$FPT \ne W[1]$

参照：

1- M.グローエ。準同型の複雑さと、反対側から見た制約充足の問題。Journal of the ACM、54（1）、記事1、2007

2- Peter Jonsson、Victor Lagerkvist、Gustav Nordh。制約充足への応用を伴う計算問題のさまざまな側面の穴を開ける 制約プログラミングの原理と実践に関する第19回国際会議（CP-2013）の議事録。2013年。

これは、NP中間問題のゴルディロックス構造に関するおとぎ話です。（警告：この物語は潜在的な仮説を生成し、テストするのに有用な誤acyかもしれませんが、科学的に厳密であることを意図していません。問題に対するテレンスタオのヒューリスティックな三分法。数学に関するすべての手を振る調合と同様に、自己責任で消費してください。

NPの問題のほぼすべてのインスタンスが高度に構造化されている場合、問題は実際にはPにあります。したがって、インスタンスにはほぼすべての冗長性が含まれており、問題の多項式時間アルゴリズムは冗長性を除外する方法です。Pのすべての問題は、何らかの形式のパディング（必ずしも通常の種類ではない）を介して、EXPで何らかの問題を取り、構造化された冗長性を追加することで取得できることさえ考えられます。もしそうであれば、多項式時間アルゴリズムはそのパディングを元に戻す効率的な方法と見なすことができます。

構造化されていない「硬度の中核」を形成する十分なインスタンスがある場合、問題はNP完全です。

ただし、この「難易度のコア」があまりにもまばらである場合、SATの一部を表す余地があるだけなので、問題はPまたはNP中間にあります。（この議論は、ラドナーの定理の本質です）。スコットのアナロジーを使用するために、「難易度のコア」は、NP完全であることに向かって、問題に引力をかけます。「難易度の中核」のインスタンスには冗長性はあまりなく、これらすべてのインスタンスで機能する唯一の現実的なアルゴリズムは、ブルートフォース検索です（もちろん、有限数しかない場合は、テーブルルックアップも機能します）。

この観点から、NP中間の問題は、構造化されたインスタンスと構造化されていないインスタンスとの間でGoldilocksの細かいバランスを必要とするため、実際にはまれです。インスタンスは、アルゴリズムを部分的に受け入れられるように十分な冗長性を備えている必要がありますが、問題がPにないほど十分な硬度のコアが必要です。

パズルに基づいて、さらに単純な（そして面白いが、潜在的にはより誤解を招く）ストーリーを伝えることができます。わずかな制約で、多くの検索を強制することができます。たとえば、NxN数独はNP完全です。ここで、多くの小さなパズルを1つのインスタンスとして一度に解決するように求められることを考慮してください（たとえば、9x9の数独）。所要時間は各インスタンスのパズルの数でほぼ線形になり、この問題はPになります。中間の問題については、各インスタンスがラージ語の数独（ただし、それほど大きくない）の数独であると考えることができます。 （ただし、大きすぎない）グリッド。このような問題をあまり見ないのは、それらのポーズや解決が面倒だからです！

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NP}$

$n$$\geq \log n$$\mathsf{NPI}$ $\mathsf{NP}$$x$$Q$$x$$Q$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NPC}$

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{P}$