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量子計算と量子力学に関連する計算の問題

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量子近似アルゴリズム
一般に、量子コンピューターがNP完全問題を効率的に解決できるとは考えられていません。古典的な場合、そのような問題に取り組むための1つのアプローチは、近似アルゴリズムを使用することです。量子性が古典的近似法よりも大幅に高速化する量子コンピューティングを使用した近似アルゴリズムに関する研究はありますか？ 「有意」とは、必ずしも指数関数的ではなく、対応する正確なアルゴリズムよりも大きいことを意味します。言い換えれば、私たちのアルゴリズムが正確な解を生み出すという要件を緩和することが、量子アルゴリズムに大きな利点をもたらすかどうかに興味があります。
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量子光学の計算の複雑さ
で、「量子計算のための要件」、バートレットとサンダースは、次の表の連続変数量子計算のための既知の結果の一部を要約したものです。 私の質問は3つあります。 9年後、最後のセルを埋めることができますか？ 「Universal for BQP」というタイトルの列が追加された場合、列の残りの部分はどのように表示されますか？ アーロンソンとアルキポフの95ページの傑作を新しい行にまとめることはできますか？
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量子コンピューティングのフォールトトレランスしきい値の最適な下限は何ですか？
量子計算にはノイズしきい値が存在することが十分に確立されており、このしきい値以下では、制限された確率（せいぜい多項式計算のオーバーヘッド）で正しい結果が得られるように計算をエンコードできます。このしきい値は、使用されるエンコーディングとノイズの正確な性質に依存します。また、シミュレーションの結果、多くの場合、敵対的なノイズモデルで証明できるものよりもはるかに高いしきい値が与えられます。 だから私の質問は、独立した確率的ノイズに対して証明された最高の下限は何ですか？ 私が言及しているノイズモデルはquant-ph / 0504218で扱ったもので、Aliferis、Gottesman、Preskillは下限証明しています。ただし、どの種類のエンコードが使用されるかは気にしません。また、その論文で検討されているコードに制限する必要はありません。私が知っている最高は、AliferisとCrossによる（quant-ph / 0610063）。それ以降、この値は改善されましたか？2.73 × 10− 52.73×10−52.73 \times 10^{-5}1.94 × 10− 41.94×10−41.94 \times 10^{-4}
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量子アルゴリズムで「量子化の度合い」を定量化できますか？
エンタングルメントは、量子アルゴリズムを量子化する鍵となる要素としてしばしば保持されます。これは、量子物理学を隠れ状態の確率モデルとして破壊するベルの状態にまでさかのぼることができます。量子情報理論（私のやや弱い理解から）では、特定の種類のコーディングを行う能力を制限する具体的なリソースとして、エンタングルメントを使用することもできます。 しかし、他の会話（私は最近、量子法で働いている物理学者の博士号委員会に座っていました）から、特に混合状態の量子状態では、絡み合いを定量化するのが難しいと思います。具体的には、特定の量子状態にX単位のエンタングルメントがあると言うのは難しいようです（学生の博士論文は、よく知られているゲート操作によって「追加」されるエンタングルメントの量を定量化しようとしたものです）。実際、最近の博士論文では、「量子不一致」と呼ばれる概念も、アルゴリズムまたは状態の「量子性」を定量化するために関連する（および必要とされる）可能性があることが示唆されています。 エンタングルメントをランダム性のようなリソースとして扱いたい場合、アルゴリズムにエンタングルメントがどれだけ「必要」かを測定する方法を尋ねるのは公平です。私は完全な逆量子化について話しているのではなく、単に量を測定する方法です。 それでは、現在、状態や演算子、または一般的なアルゴリズムの「量」を測定するために受け入れられている方法はありますか？
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Shorのアルゴリズムの2016年の実装は本当にスケーラブルですか？
この質問は、理論上のコンピューターサイエンススタック交換で回答できるため、コンピューターサイエンススタック交換から移行されました。 3年前に移行され ました。 2016年の科学論文「でスケーラブルショアアルゴリズムの実現」[ 1 ]、著者らは、「必須」表1に従って8つの量子ビットよりも少ない場合にのみ5キュービットと15因子の[ 2 ]と[表5 3 ]。8キュービットの要件は、[ 4 ]の末尾にあり、ビット数の因数分解に必要なキュービット数はあり、15の場合はあると述べています。nnn1.5 n + 21.5n+21.5n+21.5 ⋅ 4 + 2 = 81.5⋅4+2=81.5\cdot 4 + 2=8 5量子ビットのみを使用する論文は、アルゴリズムが「M量子ビットに作用するQFTを単一の量子ビットに繰り返し作用する半古典的QFTに置き換える」と述べていますが、アルゴリズムの複雑さに対するこの結果は決して言及されていません。 今があった厳しい批判彼らはショアのアルゴリズムの複雑さの引数はもはや保持している第2節では言わないよう、「スケーラブル」な方法で因数15に主張した紙の。しかし、この批判はどこにも裏付けられておらず、Scienceの論文はShorのアルゴリズムの「スケーラブルな」バージョンとして称賛され続けています。「スケーラブル」Shorアルゴリズムの複雑さは何ですか？ [ 1 ] Monz et al。（2016）科学。巻 351、Issue 6277、pp。1068-1070 [ 2 ] Smolin et al。（2013）自然。499、163–165 [ 3 ] Dattani＆Bryans（2014）arXiv：1411.6758 [ 4 ] Zalka（2008）arXiv：quant-ph / 0601097 …
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結合木問題のランダム化されたクエリの複雑さ
チャイルズらによる2003年の重要な論文。「結合木問題」を導入しました。これは、私たちが知っているような他のどのような問題とも異なる指数関数的量子高速化を認める問題です。この問題では、次の図のような指数関数的に大きなグラフが与えられます。これは、深さがnの2つの完全な二分木で構成され、その葉はランダムサイクルで互いに接続されています。ENTRANCE頂点のラベルが提供されます。また、任意の頂点のラベルを入力として与え、その隣接のラベルを伝えるオラクルも提供されます。私たちの目標は、EXIT頂点を見つけることです（これは、ENTRANCE頂点以外のグラフ内の唯一の次数2の頂点として容易に認識できます）。ラベルは長いランダムな文字列であると想定できるため、圧倒的な確率で、ENTRANCE頂点以外の頂点は、oracleによって与えられます。 チャイルズら。クォンタムウォークアルゴリズムは、このグラフを簡単にたどり、poly（n）ステップ後にEXIT頂点を見つけることができることを示しました。対照的に、彼らはまた、任意の古典的なランダム化アルゴリズムが高い確率でEXIT頂点を見つけるためにexp（n）ステップを必要とすることを示しました。彼らは下限をΩ（2 n / 6）と述べたが、彼らの証明を詳しく調べるとΩ（2 n / 2）が得られると思う。直感的には、これは圧倒的な確率で、グラフ上のランダムウォーク（自己回避ウォークなど）が指数関数的な時間にわたって広大な中間領域で立ち往生するためです。 、EXITから離れる方向に向いている非常に多くのエッジは、それを中央に向かって押し戻す「反発力」として機能します。 彼らが議論を形式化した方法は、それが〜2 n / 2の頂点を訪れるまで、ランダム化されたアルゴリズムがグラフ内でサイクルを見つけさえしないことを示すことでした：今まで見られた誘導部分グラフは、 EXIT頂点の位置に関する情報。 この問題のランダム化されたクエリの複雑さをより正確に特定することに興味があります。私の質問はこれです： 誰でも〜2 n未満のステップでEXIT頂点を見つける古典的なアルゴリズムを思いつくことができますか？---たとえば、O（2 n / 2）、またはO（2 2n / 3）で？あるいは、誰かがΩ（2 n / 2）より良い下限を与えることができますか？ （誕生日の逆説では、O（2 n / 2）ステップ後のグラフでサイクルを見つけるのは難しくありません。問題は、EXIT頂点がどこにあるかについての手がかりを得るためにサイクルを使用できるかどうかです。） 誰かがΩ（2 n / 2）を超えて下限を改善できるなら、私の知る限り、これはランダムなクエリの複雑さが√Nより大きい指数量子高速化を伴うブラックボックス問題の最初の証明可能な例を提供します。（N〜2 nは問題のサイズです。） 更新： Andrew Childsから、このノートでは、FennerとZhangが、結合ツリーのランダム化された下限をΩ（2 n / 3）に明示的に改善することを学びました。彼らが（指数関数的に小さな）成功確率ではなく、一定の受け入れ確率を受け入れるなら、Ω（2 n / 2）までさらに限界を改善できると思います。
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充足可能な3-SAT式のサンプリング
次の計算タスクを考えてみましょう。式が満たされていることを条件として、一様確率分布に関して変数（バリアント：n変数m句）の3-SAT式をサンプリングします。nnnnnnmmm Q1：これは、古典的なコンピューター（ランダムビット）で効率的に達成できますか？ Q2：これは量子コンピューターで効率的に達成できますか？ 次の2つのバリアントにも興味があります。 V2：すべての式を、満足できない式の2倍の重みを満足させる式に与える確率分布でサンプリングします。 V3：重みが満足のいく割り当ての数であるサンプル（ここではQ2のみを考慮します）。 更新： Colinsの答えは、V3の単純なアルゴリズムを示しています。（これは古典的に難しいと仮定するのは間違っていました。）3つの質問すべての別のバリエーションについて言及しましょう。 事前に句を指定し、入力句のランダムに満たせるサブセットをサンプリングする必要があります。mmm
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SU（3）の汎用ゲートセット？
量子コンピューティングでは、d次元システムの特殊なユニタリー演算子Gのグループが、グループSU（d）全体を正確に、またはSU（d）の密なカバーによって提供される単なる近似でさえ与える場合にしばしば関心があります。 d次元システムC（d）のクリフォードグループなどの有限次数のグループは、密なカバーを与えません。グループがアーベル型である場合、無限の順序のグループは密なカバーを与えません。しかし、私の大まかな直観は、Cliffordグループの無限の数のゲートと基底を変更する操作で十分にカバーできることです。 正式には、私の質問は次のとおりです。 SU（d）のサブグループであるグループGがあります。Gは無限の順序を持​​ち、C（d）はGのサブグループです。そのようなGはすべてSU（d）の密なカバーを提供しますか。 d> 2の場合に特に興味があることに注意してください。 クリフォードグループは、ここで定義されているとおりです：http : //arxiv.org/abs/quant-ph/9802007
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量子コンピューターによる凸多面体からの近似サンプリング
量子コンピューターは、従来のコンピューターを使用してサンプリングする方法がわからない分布のサンプリングに非常に適しています。たとえば、fが多項式時間で計算できるブール関数（から）である場合、量子コンピューターを使用すると、 fのフーリエ展開 （従来のコンピューターでそれを行う方法はわかりません。）- 1 、1{ - 1 、1 }n{−1,1}n\{-1,1\}^n- 1 、1−1,1{-1,1} 量子コンピューターを使用して、d変数のn個の不等式のシステムによって記述された多面体のランダムポイントをサンプリングまたは近似サンプリングできますか？ 不等式からポイントに移動することは、「変換」に似ているように見えます。さらに、分布を変更しても、たとえば多面体の超平面または他の何かによって記述されたガウス分布の積を考慮しても、量子アルゴリズムを見ることができればうれしいです。 いくつかのコメント：Dyer、Frieze、およびKannanは、多面体の体積をほぼサンプリングしてほぼ計算する有名な古典的な多項式時間アルゴリズムを発見しました。このアルゴリズムは、ランダムウォークと高速ミキシングに基づいています。それで、同じ目的のために異なる量子アルゴリズムを見つけたいです。（OK、私たちは量子アルゴリズムがこの文脈で古典的に行うことを知らないことにもつながることを願うことができます。しかし、始めるために、私たちが望むのは異なるアルゴリズムだけです、これは可能でなければなりません。） 第二に、均一な分布をほぼサンプリングすることさえ主張しません。多面体で大まかにサポートされている他の素敵な分布をおおよそサンプリングします。Santosh Vampala（別のコンテキストでは私も）によるサンプリングから最適化までの議論があります：f（x）サンプルを最適化して、f（x）が典型的なポイントyを見つける場合。制約{f（x）> = f（y）}を追加して繰り返します。
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BosonSamplingペーパーは、複雑なマトリックスの簡単なクラスをどのように回避しますか？
線形光学の計算の複雑さ（ECCC TR10-170）、スコット・アーロンソンとアレックスArkhipovは、量子コンピュータを効率的に古典的コンピュータによってシミュレートすることができるならば、多項式階層が第3のレベルまで崩壊すると主張しています。動機付けの問題は、線形光学ネットワークで定義された分布からのサンプリングです。この分布は、特定のマトリックスのパーマネントとして表現できます。古典的な場合、行列のすべてのエントリは非負であるため、Mark Jerrum、Alistair Sinclair、およびEric Vigodaが示すように、確率的多項式時間アルゴリズムが存在します（JACM 2004、doi：10.1145 / 1008731.1008738）。クォンタムの場合、エントリは複素数です。一般的な場合（エントリが非負である必要がない場合）、Valiantの古典的な1979年の結果では、恒久係数は一定の係数内であっても近似できないことに注意してください。 この論文では、行列で定義される分布とサンプリング問題を定義していますDADAD_AAAA BosonSampling 入力：マトリックスサンプル：分布からAAA DADAD_A 硬さの結果を使用することは、特定の量子セットアップの行列のクラスがすべて特別な形式になる可能性があるため、古典世界と量子世界の分離の弱い証拠のようです。それらは複雑なエントリを持っているかもしれませんが、まだ多くの構造を持っているかもしれません。したがって、一般的な問題が＃P-hardであっても、そのような行列の効率的なサンプリング手順が存在する可能性があります。 論文でBosonSamplingを使用すると、簡単なクラスが避けられますか？ この論文は、量子の複雑さにはない多くの背景を使用しています。このサイトのすべての量子の人々を考えると、正しい方向へのポインタを本当に感謝しています。特定の実験設定で見られる複素数値行列のクラスが、サンプリングしやすい分布のクラスに実際に対応していることを発見した場合、引数はどのように保持されますか？それとも、これが起こらないことを保証する量子システムに固有の何かがありますか？
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どのくらいの計算能力が立方センチメートルに収まりますか？
この質問は、Aadita Mehraが尋ねたDNAアルゴリズムに関する質問のフォローアップです。 そこのコメントで、ジョー・フィッツシモンズは次のように言った。 これを避けるために、システムの半径は質量に比例して拡大縮小する必要があります。計算能力は、質量内で最大で線形にスケーリングします。したがって、機械の指数関数的な量には指数関数的な半径があります。光よりも速く信号を送ることはできないため、一方から他方への信号は反対側に到達するのに指数関数的に長い時間がかかります。時間。 私の質問には2つの部分があります。 （1）「計算能力は最大で線形に比例して拡大する」などのステートメントを形式化するための最良の方法/方法は何ですか？この声明は本当に議論の余地がないのでしょうか？ （2）ステートメントが真であると仮定します。そうであっても、自然がすでに指数関数的な量の前処理を行っていれば、それを利用できるかもしれません。たとえば、「ブルートフォースランダム化」による進化の視覚システムの作成などです。 私はこの種の質問に対するかなりの数のソフト（擬似科学的）回答を聞いて読んでおり、ここでの回答に感謝しますが、私は（1）と（2）がどのように作り直されることができるかに最も興味がありますTCSの厳格さ。
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結果
しばらくエーデルマンの定理のショー、という、私は含める可能性調査を任意の文献を認識していないよ。そのような包含はどのような複雑性理論的な結果をもたらすでしょうか？B Q P ⊆ P /ポリB P P ⊆ P /ポリBPP⊆P/poly\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{P}/\text{poly}B Q P ⊆ P /ポリBQP⊆P/poly\mathsf{BQP} \subseteq \mathsf{P}/\text{poly} Adlemanの定理は、「非ランダム化引数の前駆体」と呼ばれることもあります。はデランダム化可能であると考えられていますが、の「量子性」を何らかの方法で削除できるという証拠はありません。これは、がある可能性が低いという可能性のある証拠ですか？B Q P B Q P P /ポリB P PBPP\mathsf{BPP}B Q PBQP\mathsf{BQP}B Q PBQP\mathsf{BQP}P /ポリP/poly\mathsf{P}/\text{poly}
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有界深度確率分布
境界深度計算に関する2つの関連する質問： 1）nビットで開始し、ビットiで開始するには、独立して何らかの確率p（i）で0または1にできると仮定します。（問題が簡単になる場合、すべてのp（i）が0、1、または1/2であると想定できます。またはそれらのすべてが1/2であることさえ。） ここで、制限された数の計算をラウンドにします。各ラウンドでは、互いに素なビットセットに可逆的な古典的なゲートを適用します。（普遍的な古典的なリバーシブルゲートのお気に入りのセットを修正します。） 最後に、nビットの文字列の確率分布を取得します。そのような配布の制限に関する結果はありますか？ 私は、Hastadスイッチングの補題に類似した何かを探しています。ボッパナの結果は、全体の影響が小さいか、LMN定理です。 2）1）と同じ質問ですが、深さ制限のある量子回路に関するものです。
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