BosonSamplingペーパーは、複雑なマトリックスの簡単なクラスをどのように回避しますか？

線形光学の計算の複雑さ（ECCC TR10-170）、スコット・アーロンソンとアレックスArkhipovは、量子コンピュータを効率的に古典的コンピュータによってシミュレートすることができるならば、多項式階層が第3のレベルまで崩壊すると主張しています。動機付けの問題は、線形光学ネットワークで定義された分布からのサンプリングです。この分布は、特定のマトリックスのパーマネントとして表現できます。古典的な場合、行列のすべてのエントリは非負であるため、Mark Jerrum、Alistair Sinclair、およびEric Vigodaが示すように、確率的多項式時間アルゴリズムが存在します（JACM 2004、doi：10.1145 / 1008731.1008738）。クォンタムの場合、エントリは複素数です。一般的な場合（エントリが非負である必要がない場合）、Valiantの古典的な1979年の結果では、恒久係数は一定の係数内であっても近似できないことに注意してください。

この論文では、行列で定義される分布とサンプリング問題を定義しています$D_A$$A$

BosonSampling
入力：マトリックスサンプル：分布から$A$
$D_A$

硬さの結果を使用することは、特定の量子セットアップの行列のクラスがすべて特別な形式になる可能性があるため、古典世界と量子世界の分離の弱い証拠のようです。それらは複雑なエントリを持っているかもしれませんが、まだ多くの構造を持っているかもしれません。したがって、一般的な問題が＃P-hardであっても、そのような行列の効率的なサンプリング手順が存在する可能性があります。

論文でBosonSamplingを使用すると、簡単なクラスが避けられますか？

この論文は、量子の複雑さにはない多くの背景を使用しています。このサイトのすべての量子の人々を考えると、正しい方向へのポインタを本当に感謝しています。特定の実験設定で見られる複素数値行列のクラスが、サンプリングしやすい分布のクラスに実際に対応していることを発見した場合、引数はどのように保持されますか？それとも、これが起こらないことを保証する量子システムに固有の何かがありますか？

ご質問ありがとうございます！あなたがのために硬度の結果に興味があるかどうかに応じて2つの答えがある正確なまたはおおよその BosonSamplingが。

正確なケースでは、我々は与えられたことを証明する任意のパー（A）|のn行n複素行列A、あなたがに、確率比例して、特定の出力を生成し、光学実験を構築することができます| ²。これは、P ^#P = BPP ^NPでない限り、古典的な多項式時間アルゴリズムが光学実験とまったく同じ分布からサンプリングできないことを意味します（実験の説明を入力として与えた場合）。実際、それを強化して、poly（n）サイズの光学実験を使用してサンプリングできる単一の分布D _n（入力長nのみに依存）を与えることができますが、poly（n）で古典的にサンプリングすることはできません）P ^#P = BPP ^{NP以外の時間}。

おおよその場合、状況はより複雑です。私たちの主な結果は、光学実験を近似的にシミュレートする古典的多項式時間アルゴリズムがある場合（1 / poly（n）-変動距離が近い出力上の確率分布からサンプリングする場合）、BPP ^NP、| Per（A）|に近似できます ²、平均が0で分散が1のiidガウス分布のn行n列の行列Aに対して高い確率で

私たちは推測（非常に少なくとも、ないBPP中で、上記の問題は、＃P-困難であること^NP）、及び57から82のページ私たちの論文は、その推測のための証拠についてのすべてです。

もちろん、おそらく私たちの推測は間違っており、実際にはiid Gaussian行列のパーマネントを近似するポリタイムアルゴリズムを与えることができます。それは驚異的な結果でしょう！しかし、私たちが行った作業の85％のポイントは、できるだけきれいで、シンプルで、「量子フリー」である硬度の推測にすべてを基づいていることでした。つまり、仮定の代わりに

「私たちの実験で偶然発生した奇妙で特別なマトリックスのパーマネントを近似するのは＃P-hardです」

仮定を立てるだけで十分であることを示す

「iid Gaussian行列のパーマネントを近似するのは＃P-hardです。」