量子光学の計算の複雑さ

で、「量子計算のための要件」、バートレットとサンダースは、次の表の連続変数量子計算のための既知の結果の一部を要約したものです。

バートレットとサンダースの表、2003

私の質問は3つあります。

9年後、最後のセルを埋めることができますか？
「Universal for BQP」というタイトルの列が追加された場合、列の残りの部分はどのように表示されますか？
アーロンソンとアルキポフの95ページの傑作を新しい行にまとめることはできますか？

quantum-computing

— クリス・フェリー
ソース

クリスグラネードの答えは、測定列のKLM行が「フォトンカウント、ポストセレクション」であるべきだと示唆しています。他のスキームでもポストセレクションが必要かどうかを誰かが頭の中で知っていますか？

— クリスフェリー

おそらく愚かな質問ですが、単一光子とホモダイン検出でベルの不等式に違反できるという事実は、テーブルの最後のエントリが効率的にシミュレートできないという証拠ではありませんか？

@MateusAraújo-計算の複雑さは局所性とは関係がないという最も説得力のある証拠は、2つの事実から得られます。（2）量子安定化定式化も古典的に効率的にシミュレート可能であるが、それを再現する局所的な隠れ変数を見つけることもできる。

— クリスフェリー

あなたの質問をさらに損なう危険性がありますが、ローカルな隠れ変数モデルを持っているが、効率的にシミュレーションできないシステムは知られていますか？それは本当に私を驚かせるでしょう。

@MateusAraújo-古典的な混oticとしたシステムでうまくいくと思いますか？

— クリスフェリー

回答:

3番目の質問に関して、AaronsonとArkhipov（簡潔にするためにA＆A）は、KLMの構築に非常に密接に関連する線形光量子コンピューティングの構築を使用しています。特に、初期状態で始まるモードの空間における同一の相互作用しない光子の場合を考慮しさらに、A＆Aでは、ビームスプリッターと位相シフターを使用できます。これらは、モード空間（ただし、システムの完全な状態空間ではなく重要）ですべてのユニタリー演算子を生成するのに十分です。測定は、各モードで光子の数をカウントして実行され、タプル $n$ $\text{poly}(n) \ge m \ge n$

| 1_{n} ⟩ = | 1, \dots, 1, 0, \dots, 0 ⟩ (n 1s) .

$\left|1_n\right>=\left|1,\dots,1,\ 0,\dots,0\right>\quad (n\text{ 1s}).$

m \times m

$m\times m$

(s_{1}, s_{2}, \dots, s_{m})

$(s_1, s_2, \dots, s_m)$ 占有数のよう及びそれぞれについて。（これらの定義のほとんどは、A＆Aの18〜20ページにあります。）

\sum_{i} s_{i} = n

$\sum_i s_i = n$

s_{i} \geq 0

$s_i \ge 0$

i

$i$

したがって、表の言語では、A＆A BosonSamplingモデルは、「光子、線形光学系、および光子のカウント」として最もよく説明されるでしょう。このモデルからのサンプリングの古典的な効率は、厳密に言えば不明ですが、A＆Aモデルから古典的にサンプリングする能力は、多項式階層の崩壊を意味します。PHの崩壊は一般的に非常に起こりにくいと考えられているため、BosonSamplingが効率的かつ古典的にシミュレートできない可能性が非常に高いとは言えません。 $n$

A＆AモデルのBQP普遍性に関しては、相互作用しないボソンだけの線形光学がBQPに普遍的であるとは知られていませんが、有名なKLM定理により、完全にBQPの普遍性を得るには事後選択測定の追加で十分です。KLM構造でのポストセレクションの受け入れ確率は、になります。は、特定の回路に現れるZ制御ゲートの数です。したがって、BQPの事後選択された線形光学モデルが効率的であると結論付けるのに十分であるかどうかは、効率的であると定義するものの問題ですが、それは普遍的です。 $1/16^\Gamma$ $\Gamma$

アーロンソンは、パーマネントの#P 硬さに関する彼のフォローアップペーパーで、選択された線形光学のケースをさらに詳しく調べています。この結果はValiantによって以前に証明されましたが、アーロンソンはKLMの定理に基づいた新しい証明を提示します。補足として、このペーパーは、A＆AがBosonSamplingの傑作で使用している多くの概念を非常によく紹介していることがわかりました。

— クリス・グラネード
ソース

素晴らしい答えです！P = BQPかどうかわからないので、最後の列のxにも脚注を付けるか、より正確には疑問符にする必要がありますか？

— クリスフェリー

ありがとう！P≠BQPであるという証拠がないため、最後の列はせいぜい仮説にすぎません。A＆Aの結果は、古典的な計算と量子計算を分離するために私が見た中で最も強力な結果の1つですが、効率的な古典的なシミュレータの存在の具体的な複雑さ-理論的結果を提供します。おそらく、より説明的な列は「効率的な古典的シミュレーションの結果」でしょうか？

— クリスグラネード

おそらくそれだけで質問に値するフォローアップの質問：線形光学自体がBQPに普遍的でないことを証明する自然な方法があるかどうか知っていますか？または、これを証明する障壁がありますか（たとえば、他のことを暗示することによって、どのように表示するかはわかりませんが、おそらく本当です）。

— Abhinav

$\cos^2(\frac\pi8)$

Gu et alによる連続変数クラスターを使用した量子コンピューティングにより、テーブルの最後のエントリが「X」であると言ってもいいと思います。UQCのホモダイン測定により、非ガウスクラスター状態に作用できることを示しています。
仮想列「Universal for BQP」には、最初の行に「X」があり、残りに「checks」があります。ただし、アーロンソンとアルヒポフの結果の仮想行には「？」があります。（ただし、著者によるとおそらく「X」です）。
上記のChris Granadeの回答を参照してください。

更新：新しい行を追加できるかどうかも尋ねる必要がありました。いずれにせよ、確かに次のことができます。ここに画像の説明を入力してください

それはVeitchらからです。MariとEisertも参照してください。

— クリス・フェリー
ソース