SU（3）の汎用ゲートセット？

量子コンピューティングでは、d次元システムの特殊なユニタリー演算子Gのグループが、グループSU（d）全体を正確に、またはSU（d）の密なカバーによって提供される単なる近似でさえ与える場合にしばしば関心があります。

d次元システムC（d）のクリフォードグループなどの有限次数のグループは、密なカバーを与えません。グループがアーベル型である場合、無限の順序のグループは密なカバーを与えません。しかし、私の大まかな直観は、Cliffordグループの無限の数のゲートと基底を変更する操作で十分にカバーできることです。

正式には、私の質問は次のとおりです。

SU（d）のサブグループであるグループGがあります。Gは無限の順序を持​​ち、C（d）はGのサブグループです。そのようなGはすべてSU（d）の密なカバーを提供しますか。

d> 2の場合に特に興味があることに注意してください。

クリフォードグループは、ここで定義されているとおりです：http : //arxiv.org/abs/quant-ph/9802007

これは完全な答えではありませんが、おそらく質問に答えるのに役立つでしょう。

以来、無限の次数を有するが、ない場合、必ずしも非クリフォードグループゲートを含んでいます。ただし、はサブグループとしてがあります。しかし、、CliffordグループとCliffordグループにない他のゲートはほぼ普遍的です（たとえば、ここの定理1を参照）。したがって、このようなはすべて密なカバーを提供します。C （d ）G G C （d ）d = 2 G S U （2 n$G$$C(d)$$G$$G$$C(d)$$d=2$$G$$SU(2^n)$

場合、次の行に沿って密集したカバーを得ることができる可能性があります（質問にリンクされている論文の表記を使用）。$d>2$

1. すべてのゲートはユニタリであるため、それらの固有値はすべてユニティの根であり、簡単にするために実際の角度パラメータ化します。0 ≤ θ I < 2 $G$$0 \leq \theta_i < 2\pi$
2. 無限の次数を有する、いずれかの少なくとも1つの値に対するゲート含まの不合理倍数であるまたはそのような不合理複数の任意に良好な近似含ま。そのようなゲート 1つ指定します。G θ K π π $G$$G$$\theta_k$$\pi$$\pi$$g$
3. 次に、が恒等式に任意に近いが等しくないようなが存在します。g $n$$g^n$
4. 以降、それはのように書くことができる一体型である。 exp （− i H $g^n$$\exp(-iH)$
5. quant-ph / 9802007で定義されているパウリグループは行列の基礎を形成するため、次のように記述できます、ここで、およびは、（[3]で）、少なくとも1つのはゼロではありません。H = Σ D - 1 、J 、K = 0 α jはk個の X j個のD Z K D α jはK ∈ C | α jはK | ≤ ε ε > 0 α $d \times d$$H = \sum_{j,k = 0}^{d-1}\alpha_{jk} X_d^j Z_d^k$$\alpha_{jk} \in \mathbb{C}$$|\alpha_{jk}|\leq \epsilon$$\epsilon > 0$$\alpha_{ab}$
6. 次に、を選択し、共役の下でをマップするCliffordグループから要素を選択します。したがって、、ここではと順列です。X j個のD ZのK Dの Z Dの CのG N C † = EXP （- I C H C †）= EXP （- I （α Bの ZのD + Σ （J 、K ）≠ （、B ） α ' j k X j d Z k d））$C$$X_d^j Z_d^k$$Z_d$$C g^n C^\dagger = \exp(-iCHC^\dagger) = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$$\alpha'$$\alpha$$\alpha_{ab} = \alpha'_{01}$
7. は満たすことに注意してください。定義してみましょう。$Z_d$$Z_d (X_d^u Z_d^v) = \omega^{u} (X_d^u Z_d^v) Z_d$$g_\ell = Z_d^{-\ell} C g^n C^\dagger Z_d^{\ell} = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \omega^{j\ell} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$
8. Baker-Cambel-Hausdorffの定理により、すべてのは恒等式に任意に近いため、を。ユニティのすべてのルートを合計すると、、ます。これは基本的にデカップリングシーケンスです非対角要素を分離します。$\alpha$$g' = g_1 \times ... \times g_d$$\exp(-i(d\times(\sum_{k} \alpha_{0k} Z^k) + (\sum_{\ell = 1}^d \omega^d)\times\sum_{j \neq 0}\sum_k \alpha_{jk}X_d^j Z_d^k))$$d>1$$g' = \exp(-i(d\times(\sum_{k\neq b} \alpha_{0k} Z^k))$
9. 対角行列のみが指数関数に残るため、は対角でなければなりません。さらに、制限により、必然的にゼロではないが比例する固有値を持ちます。$g'$$\alpha'$$\epsilon$
10. を変更し、上記のプロセスを繰り返すことにより、線形独立ゲート生成し、その結果、不合理で不整合な位相または任意に近い近似を持つ対角ゲートを生成できるようになります。に。$\epsilon$$d$$g'_1 ... g'_d$
11. マーク・ハワードの答えで与えられた参照により、これは、クリフォードのグループとともに、おおよその普遍性に十分なはずです。

元の質問に対する答えはおそらくイエスだと思いますが、残念なことに、それを明確に言うことはできません。しかし、私はピーターの拡張質問に答えることができます。

Nebe、Rains、およびSloaneによるmath / 0001038では、CliffordグループがU（2 ^ n）の最大有限サブグループであることを示しています。Solovayは、「本質的に有限の単純なグループの分類を使用する」未発表の研究でもこれを示しています。ねべら 論文では、クディットクリフォードグループが素数pの最大有限サブグループであり、有限グループの分類も使用していることも示しています。これは、Cliffordグループと任意のゲートが無限のグループであることを意味し、元の質問の仮定の1つを冗長にします。

RainsとSolovayは、Cliffordグループを含む無限グループが普遍的であることを示す次のステップは比較的簡単だと言った。ただし、そのステップが実際にどのように機能するかはわかりません。さらに重要なのは、元の質問について、彼らが量子ビットの場合だけを考慮していたのか、それとも量子ビットの場合を考慮していたのかがわかりません。

実際、私は、Nebe、Rains、およびSloaneのどちらの証拠も理解していないが、そうしたいと思います。

あなたがSU（3）またはSU（3）について質問しているのかどうかは、クディットのテンソル積に作用しているかどうかはわかりません。SU（3）について質問していると仮定します。SU（3）のステートメントがSU（3）のステートメントを暗示していることは（以前のバージョンの回答で述べたことにもかかわらず）私には明らかではありません。$^{n}$$^n$

ゲートのセットがSU（3）のサブグループにない限り、SU（3）の密なカバーを生成します。したがって、SU（3）の無限サブグループにCliffordグループが含まれているかどうかを確認する必要があります。彼らはそうではないと確信していますが、確かに言うことはできません。ここに、SU（3）のすべてのLieサブグループを与える数学オーバーフローの質問があります。

サイトを永久に凍結する前に、このスレッドを更新する必要があると思いました。

ダニエルの答えは正しい行にあります。彼が言及しているこの「次のステップ」は、Nebe、Rains、およびSloaneのその後の本「Self-Dual Codes and Invariant Theory」に記載されています。

したがって、この質問への答えは「はい」です。そして、それはNebe、Rains and Sloaneの本の結果6.8.2から直接続きます。

私がウォータールーを訪れていたときに私に指摘してくれたヴァディム・クリフニコフに感謝します。

次の論文には、クディットの普遍性を証明するための関連する構成が含まれていると思います

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010

特に、セクションの最後のコメントは、制御位相C Z、フーリエ変換F、および非合理的で不整合な位相を持つ対角ゲートDがほぼ普遍性を与えると述べています。（これはDでは十分な条件ですが、必要な条件ではないと確信しています。）$4$$CZ$$F$$D$$D$

あなたの場合は正しい形式である（と対角線ゲートは自然な選択を思わ）結果は適用されます$G$

別のアプローチは、クッディットToffoliの実装に必要な補助的な状態を作成するか、をCliffordsと一緒に直接使用してToffoliを実装することです。Gについて詳しく知らなくてもこれが可能かどうかを判断するのは困難です。$G$$G$