グラフ同型と隠されたサブグループ

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グラフ同型と隠れサブグループ問題の関係を理解しようとしています。これに関する良いリファレンスはありますか？

— スレシュ・ベンカット
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Tssk、あなたの消化器疾患を治す必要があるだけでなく、あなたの質問の貧しい読者も感染します！（これは冗談ですが、私も消化器疾患になりやすいです。）

— アンドラスサラモン

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あまりにも真実。今デイブベーコンから離れなければならない:)

— Suresh Venkat

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参考までに、GIの「量子ふるいアルゴリズム」のfollowingに釘を置いた次の比較的最近の論文は、これまでの多くの試みをカバーしています（Dave Baconのブログ投稿では言及されていません）：dx.doi.org/ 10.1137 / 080724101。この論文は表現論に重きを置いていますが、イントロはそうではなく、かなり良い読み物です。

— ジョシュアグロチョウ

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参照はmartinschwarzの答えにありますが、ここではいくつかの削減の概要を示します。

対称グループは、頂点を並べ替えることにより、n個の頂点のグラフに作用します。2つのグラフが同型かどうかを判別することは、多項式サイズ生成セットを計算することと多項式時間で同等です。 $S_n$ $Aut(G)$

対称グループ（はグラフ内の変数の数）上のHSPへの還元。関数あるで置換され、及びの順列バージョンである。次に、は剰余類で一定であり、別個の剰余類で異なります（のイメージに注意してください） $S_n$ $n$ $f$ $f(p)=p(G)$ $p$ $S_n$ $p(G)$ $G$ $f$ $Aut(G)$ $f$ 同型のすべてのグラフで構成されます）。隠されたサブグループがあるので、正確に、我々は、我々はのための発電装置を持つことになり、このHSPを解決することができれば、私たちは（上記参照）GIを解決するために必要なすべてです。 $G$ $Aut(G)$ $Aut(G)$

上HSPへの還元。個の頂点上の2つのグラフとが同型かどうかを知りたい場合、個の頂点上のと互いに素な結合であるグラフを考えます。ましょ交換することによって頂点に作用する用いてするため。どちらの $S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $G$ $H$ $n$ $K$ $G$ $H$ $2n$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $i$ $n+i$ $i=1,...,n$ または。前と同じように、 $Aut(K) = Aut(G) \times Aut(H)$ $Aut(K) = (Aut(G) \times Aut(H)) semidirect \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ここで、は、説明されているように作用する要素です。関連付けられた非表示のサブグループは、前の縮小のとまったく同じようにです。このHSPを解くと、生成セットが得られます。生成セットに、のコピーとのコピーを内部で交換する要素が含まれているかどうかを簡単に確認できます $f(x)=x(K)$ $x$ $S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $K$ $f$ $Aut(K)$ $Aut(K)$ $G$ $H$ （自明でないコンポーネントを持っています）。 $K$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

— ジョシュア・グロチョウ
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グラフ同型に関するDave Baconの最近のブログ投稿を、文献へのリンクとともに読むことをお勧めします。

— マーティン・シュワルツ
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Andrew ChildsとWim van Damによる「代数問題のための量子アルゴリズム」arXiv：0812.0380は、非アーベルHSPとグラフ同型との関係についての優れたイントロを含む非常に優れた調査論文です。

— ダバコン
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