タグ付けされた質問 「graph-theory」

ましょグラフのパラメータ（例：直径、支配番号など）でありますsss グラフのファミリーは、任意のグラフに対して、のツリー幅が最大ような 関数がある場合、 -treewidthプロパティを持ちます。FF\mathcal{F}sssfffG ∈ FG∈FG\in \mathcal{F}GGGf（秒）f（s）f(s) たとえば、とを平面グラフのファミリーとしましょう。次に、直径が最大で平面グラフのツリー幅は最大でことがわかっています。より一般的には、Eppsteinは、一部の頂点グラフをマイナーとして除外する場合にのみ、グラフのファミリーにdiameter-treewidthプロパティがあることを示しました。そのようなファミリーの例は、一定の属などのグラフです。F s O （s ）s = d i a m e t e rs=d私aメートルeters = \mathit{diameter}FF\mathcal{F}sssO （s ）O（s）O(s) 別の例として、ます。FominとThilikosは、にローカルツリー幅がある場合にのみ、グラフのファミリがdomination-number- treewidthプロパティを持っていることを示すことにより、エップスタインのアナログ結果を証明しました。これは、にdiameter-treewidthプロパティがある場合にのみ発生することに注意してください。s = d o m i n a t i o n − n u m b e rs=doメートル私んat私oん−んあなたメートルbers = \mathit{domination{-}number}FFF\mathcal{F}FF\mathcal{F} 質問： 平面グラフで保持することが知られている -treewidthプロパティはどのグラフパラメーターですか？sssssss …

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完全な二部グラフのpathwidthサイズの分かれたセットと及び最大である。次のプロセスでこのグラフを平坦化することに興味があります。K3,nK3,nK_{3,n}333nnn333 エッジがその内部に頂点を含まないように、また任意のポイントで2つ以下のエッジが交差するように、平面に描画します。 2つのエッジのすべての交差点を次数4の新しい頂点で置き換えます。 次に、結果のグラフは明らかに平面です。一方で定数pathwidthを持っている、いくつかの予備調査は関係なく、あなたが平坦化するために使用描くことを示唆している、あなたが平坦化されたグラフは、一定のpathwidthの独立していることを保証することはできません、平坦化されたグラフのパス幅は、とともに増加する必要があると思います。これは既知ですか、それとも既存の結果によって暗示されますか？K3,nK3,nK_{3,n}K3,nK3,nK_{3,n}nnnnnn 一方、一定の次数と制限されたパス幅の一連のグラフがあります。これは、パス幅を定数より大きくすることなく平坦化できます。これは有界次数とパス幅のグラフで常に可能であるという一般的な結果はありますか？

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をランダムな有向グラフとして定義します（頂点個。2つの頂点の間にエッジを確率）。n pG （n 、p ）G（ん、p）G(n, p)んんnppp 次の問題の既知の結果は何ですか。 2つの頂点と修正します。と間に少なくとも（最大での長さの）パスがある確率はどれくらいですか？（明らかに、結果は、および関数であるべきです）。正確な答えがわからない場合は、上限も機能します。u k u v n p kvvvあなたあなたukkkあなたあなたuvvvんんnpppkkk

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ましょ NP完全グラフ問題です。Xが有界直径のグラフの多項式時間で解けると仮定します。つまり、直径でパラメータ化されたXはXPです。（n f （k ）時間で解決できる場合、問題はXPにあることを思い出してください）。これは、他の興味深いパラメータのXP時間の可解性を意味しますか？バツバツXバツバツXバツバツXんf（k ）んf（k）n^{f(k)} もしそうなら、多かれ少なかれいくつかの「標準」リストまたはパラメータのウェブがあり、それらはどこかに文書化されてどのように関連していますか？

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すべての頂点の開いた近傍が2部グラフを誘導する場合、グラフはローカル2部グラフです。（検索によると、サーフェスに関連する他の何かに同じ名前が使用される可能性があります）。 一般的なグラフの問題のどのNPハードが、局所的な2部グラフの多項式になり、どれがNPハードのままですか？ 特にクリークとカラーリングに興味があります。 ローカルの2部構成と他のグラフクラスの間に包含はありますか？ 加えられた論文によると、それらは「ほぼ二部」とも呼ばれ、それらの補集合は、爪のない一般化された線グラフです。

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多くの定理があり、その多くはグラフ理論と組み合わせ最適化にあり、これらは多くの場合、優れた特性評価と呼ばれています。彼らは一般的にプロパティを置く、プロパティが保持しているか、他のいくつかのよく識別障害物が保持できないようにそれをすることをそこにあることを示すことによって。多くの場合、それらはmin-maxの定理として提示されます。前の質問「適切な特性の最適化問題」を参照してください。ただし、多項式時間アルゴリズムはありません。NP∩ C O - NPNP∩co−NPNP\cap co-NP 以下は、優れた特性評価の2つの古典的な例です。 2部グラフのサイズはであるか、すべてのエッジをカバーする頂点がk個未満です。そのようなカバーの存在は、マッチングを除外するささいな障害です。この障害物がない場合、マッチングが存在する必要があります。これは、ケーニッヒの定理として知られている重要な部分です。kkkkkk 存在するいずれかの値の流れFは、フローグラフに、あるいは存在するS - のT未満の容量を有するカットFは。この場合も、流れが通過できないため、このようなカットの存在はささいな障害です。重要な部分は、障害物がないことで、値Fのフローの存在が既に保証されていることです。これは、最大フローの最小カット定理と同等です。s−ts−ts-tFFFs−ts−ts-tFFFFFF これら（および他の多く）の結果で興味深い特徴を見つけたのは、等価の2つの方向の間のプルーフ硬度に、目に見える非対称性がよく見られるということです。通常、障害物が考慮された特性を除外していることを証明することは簡単であり、些細なことです。一方、簡単/ささいな障害物が唯一の障害物であることを証明することははるかに困難です。 この種の非対称性がなぜそれほど一般的であるのかについては、良い説明はわかりません。事前に必要なようには見えません。注：上記の例はどちらも線形計画法の双対性の特殊なケースであることを誤解しないでください。線形計画法とは何の関係もない他の例があります。 NP∩co−NPNP∩co−NPNP\cap co-NP

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定義：「チェーン」は、すべてのエッジを複製することによって長さパスから取得されるマルチグラフです。kkkkkk チェーンの2つのエンドポイント間のパスの数はであることに注意してくださいkkk2k.2k.2^k. 質問：レッツ単純n個のノードのグラフおよびletこと及び二ノードである（シンプル）の数を仮定でSからTへの経路少なくともある次に、エッジの削除と収縮のシーケンスによって、（とを終点として）からチェーンを取得することは可能ですか？GGGssstttG.G.G.GGGnk.nk.n^k.Ω(k)Ω(k)\Omega(k)GGGsssttt 答えが正の場合、問題の2番目の部分は、そのような大きなチェーンを取得するための効率的なアルゴリズムがあるかどうかです。 私は -chainまたはでも同様に満足しk−−√k\sqrt kkαkαk^\alphaα>0.α>0.\alpha >0. そのような推測が成立するかどうかについての部分的な答えや直感に感謝します。 数日前にこれを数学のオーバーフローに投稿しました。誰かがここにも投稿することを提案しました。 /mathpro/161451/do-graphs-with-large-number-of-paths-contain-large-chain-minor

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c-彩色数は、グラフのコグラフへのパーティション分割で定義されています。各カラークラスがcographになるように、頂点のカラーリングに使用されるカラーの最小数を要求します。CographはP4フリーのグラフです。つまり、長さ3の誘導経路はありません。 紙は、としてCクロマチック数意味、その証明証明をするために使用することができる4ページ備考12を任意の色を、多項式時間で最大で色の色に変換します。c （G ）c(G)c(G)⌈1+ΔC （G ）≤ ⌈ 1 + Δ2⌉c(G)≤⌈1+Δ2⌉c(G)\le \lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil ⌈ 1 + Δ2⌉⌈1+Δ2⌉\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil 古典的なグラフの色付け、つまり色数の研究では、貪欲な色付けが議論されました。貪欲なカラーリングのパフォーマンスは、頂点の順序によって決まります。最悪の場合、グラフには色が必要ですが、です。これは、貪欲なカラーリングの近似比が恣意的に悪いことを意味します。| V |χ （G ）χ(G)\chi(G) χ（G）=2| V|2|V|2\frac{|V|}{2}χ(G)=2χ(G)=2\chi(G)=2 同様に、グラフをコグラフに着色する場合、貪欲な着色を使用できます。頂点の順序を指定して、各頂点に最小の色でラベルを付け（色が1、2、3、...とラベル付けされていると想定）、各色クラスがコグラフになるようにします。 私の質問は： コグラフの色付けに対する貪欲な色付けの最悪の動作は何ですか？ 貪欲な色付けには色よりも多くの色が必要なのでしょうか？⌈1+Δ2⌉⌈1+Δ2⌉\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil

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場合、そのI推測GG G 単純三角形フリーグラフであり、次いで、せいぜいのセットがあるn2/25ん2/25 n^2/25 欠失毎奇数サイクルを破壊するエッジが。 詳細については、Erdösらによる1988年の論文、How to Make a Graph Bipartiteを参照してください。 質問1：この推測はあなたの直感に当てはまりますか？ 質問2：グラフの奇数サイクルの数を数える複雑さは何ですか？それを行うための効率的なアルゴリズムはありますか？

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自然な完全なグラフの問題はありますか。それは、多項式時間で認識可能なグラフクラスに制限されている場合でもN P完全なままです。縮退のケースを避けるために、私たちが唯一考える密な非同型の数れるグラフクラス、≤ nは -vertexグラフは指数関数的に増大してn個を。N PNP\mathsf{NP}N PNP\mathsf{NP}≤ n個≤ん\leq nんんn ノート： （1）「はい」または「いいえ」の答えはどちらも非常に興味深いでしょう。答えが「はい」の場合、合理的なグラフクラスに制限されている場合でも硬度を維持するため、普遍的にハードに呼び出すことができる自然な 完全なグラフプロパティがあります。答えが「いいえ」の場合、すべての自然なN P完全なグラフプロパティを、いくつかの重要なグラフクラスで簡単に作成できることを意味します。N PNP\mathsf{NP}N PNP\mathsf{NP} （2）プロパティの硬度がクラスに単純にシフトされることを除外するために、多項式時間で認識可能なグラフクラスのみを考慮することが重要です。たとえば、3-COLORABILITYは、3-colorableグラフに制限されている場合、簡単になります。

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三角形分割されたグラフを接続されたサブグラフに分割しようとしています。パーティション間のエッジの数はある程度保証されています。以下は、4つの「クラスター」に分割された三角グラフの例です。 私が最初に欲しかったのは、およそk個の三角形のパーティションを作成できるアルゴリズムであり（大きすぎない限り、エラーが発生する可能性があります）、計算することができました。そのようなパーティションを見つけることができるアルゴリズム（ここでpはパーティションの総数）。次に、パーティション間エッジが多数あると、このアルゴリズムが必要なアプリケーションにとって有害で​​あることがわかりました。O （k2p2（v + e ））O（k2p2（v+e））O(k^2p^2(v+e)) 理想的には、各パーティションを一定の範囲内に保つことができるアルゴリズムが理想的です。理想的には、2のような一定の因子である必要があります。また、エッジ間の数に上限を持たせることができるようにしたいそれは「低い」です。kkk さらに、これらのプロパティを持つパーティションがあり、次のいずれかを実行してグラフを変更する場合にも問題があります。 既存の頂点に接続する一連のエッジを追加する 頂点と、追加した頂点に接続する一連のエッジを追加する エッジのセットを削除する 頂点とこの頂点に接続するすべてのエッジを削除する グラフを再分割できるようにしたいのですが、サイズとカットエッジの数が最小化された各分割がまだあります。（これは私が賞金を上げているソリューションです）。つまり、このアルゴリズムを使用すると、空のグラフから始めて、頂点とエッジを1つずつ追加して再パーティション化することで、任意のパーティションを構築できます。kkk この問題に対する追加の制約は次のとおりです。 グラフは平面です 各「三角形」は、エッジを共有する三角形への無向エッジを持つ頂点です 上記のステートメントから、このグラフの各頂点の次数は最大3であることは明らかです グラフが接続されています パーティションの各サブグラフは接続されています 各サブグラフには約k個の頂点があります 最大でのパーティション間エッジ（異なるパーティションの頂点を含むエッジ）があります。やようなパーティション間エッジの同様の境界を見つけることができれば、それも機能する可能性があります。パーティション間のエッジの上限が未満になる可能性があるかどうかは完全にはわかりません。 2 √ん−−√ん\sqrt n O（logn）O（n）2 n−−√2ん2\sqrt nO （ログn ）O（ログ⁡ん）O(\log n)O （n ）O（ん）O(n) 私は立ち往生しているところにいるので、この問題に対するどんな助けも素敵です。この問題を完全に解決できれば、あなたはミツバチの膝です。そうでなければ、あなたが私に指摘できる論文や教科書やアルゴリズムを知っているなら、私はそれを非常に感謝します。 明確にする必要がある場合はお知らせください。 編集：問題を簡単にするための追加の制約を次に示します。 制限付きのドロネー三角形分割を扱っています 制約は決して単一の頂点にはならない 三角形分割から作成されたグラフは、次のように構成されます。各三角形は頂点として表されます。グラフの各エッジは、三角形分割の制約のないエッジに対応しています。これは、2つの三角形間の拘束されたエッジが、三角形分割のグラフ表現に表示されないことを意味します。 私は実現もう一つは、我々は変更する必要があるかもしれないことであるとして成長するために成長し、そうでなければサブがないことができますパーティション間のエッジの数に保証します。n O （n ）kkkんんnO （n ）O（ん）O(n)

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@NealYoungと私がここで尋ねた質問について議論しているときに、以下の問題の複雑さを判断するという別の問題が発生しました。 接続された無向グラフを前提として、すべての頂点の次数が最大で2になるようなエッジの最大サイズのサブセットを見つけます。 相対的な問題の複雑さについての論文を見つけました。それらのほとんどは、元の制約にさらに制約を加えました。FOS03は「奇数サイクルなし」を追加し、それがNPハードであることを証明しました。CTW07は、「3サイクルなしで」追加されたバリアントが、別の論文を参照するPであることを示唆していました（私は見つけられませんでした）。しかし、私は元の問題の複雑さを判断できませんでした。それをどうやって判断するのですか？ありがとう。

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我々は、グラフがあるととサイズのクリークも含ま頂点もサイズの独立したセット例えば（用いて、このプロパティを満たす高い確率で）。のエッジの数が少なくとも、つまり、あまりに疎であるはずがないというのは本当ですか？N 3 ログ（N ）3 ログ（N ）G （N 、0.5 ）G N 2 / 100GGGnnn3log(n)3log⁡(n)3 \log(n)3log(n)3log⁡(n)3 \log(n)G(n,0.5)G(n,0.5)G(n,0.5)GGGn2/100n2/100n^2/100 より一般的には、そのようなグラフにある種の疑似ランダムプロパティがあるかどうかを知りたいです。

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グラフでmaxflowを見つけるために、Goldberg＆Raoアルゴリズムを実装したいと思います。私の問題は、すべての論文とレポートが「結果のグラフで、ブロッキングフローまたは値デルタのフローを見つける」と述べている更新手順です。彼らはすべて、ブロッキングフローを見つけるためにGoldberg＆Tarjanを参照しています。理解できないことが2つあります。 デルタの価値の流れを見つけるにはどうすればよいですか？ しかし、より重要なのは、どのようにしてブロッキングフローを見つけることができるかです。 質問2に関して、私は2つの論文（Goldberg＆Tarjanによる「最大フロー問題への新しいアプローチ」と動的ツリーに関するもの）を読みました。どちらもそれほど難しくありませんでした。Goldberg＆Raoに関するすべての論文/レポート/本は、Goldberg＆Tarjanによる論文を参照しており、Goldberg＆Raoはプッシュ/再ラベル付けアルゴリズムを使用せず、ブロッキングフローを見つけていることを強調しています。しかし、私の意見では、Tarjanはプッシュ/リラベルアルゴリズムのみを説明しており、フローのブロックについては何も見つかりません。 T.コーメン、「アルゴリズムの概要」、第3版 ゴールドバーグとラオによって最大フロー問題の日付に漸近最速アルゴリズム、時間に実行、ここでC = max c （u 、v ）。このアルゴリズムは、push-relabelメソッドを使用しませんが、代わりにブロッキングフローの検出に基づいています。O （m i n （V2 / 3、E1 / 2）Elg（V2/ E+ 2 ） ∗lgC）O(min(V2/3,E1/2)Elg⁡(V2/E+2)∗lg⁡C)O(min(V^{2/3}, E^{1/2}) E \lg{(V^2/E + 2)} * \lg{C})C=maxc(u,v)C=maxc(u,v)C = \max c(u,v) A. Goldberg＆S. Rao、「Beyond the Flow Decomposition Barrier」（オリジナルペーパー） O(Λmlog(n2/m)logU)O(Λmlog(n2/m)log⁡U)O (\Lambda m log(n^2/m)\log{U})

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有向グラフ上カーディナリティ制約付き最小 - -cut既知の近似結果があるかどうかを知りたいです。文献ではそのような結果を見つけることができませんでした。sssttt 問題は次のように定義されます。 インスタンス：有向グラフ、コスト関数、2つの頂点および整数。G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)w:E→R+0w:E→R0+w : E \to \mathbb{R_0^+}s,t∈Vs,t∈Vs,t \in Vkkk 溶液：アン -の留分、すなわちパーティション 2つのセットによう、とカットが最大である交差エッジの数、すなわち。ssstttVVVV1,V2V1,V2V_1, V_2s∈V1s∈V1s \in V_1t∈V2t∈V2t \in V_2kkk|{(u,v)∈E:u∈V1,v∈V2}|≤k|{(u,v)∈E:u∈V1,v∈V2}|≤k|\{ (u,v) \in E: u \in V_1, v \in V_2 \}| \le k 測定（最小化）：カットのコスト：∑(u,v)∈E:u∈V1,v∈V2w(u,v)∑(u,v)∈E:u∈V1,v∈V2w(u,v) \sum_{ (u,v) \in E : u \in V_1, v \in V_2 } w(u,v) 「カーディナリティー制約および複数基準（マルチ）カットの問題」では、autorsは、この問題が無向グラフの場合でも強くNP困難であることを証明しています。 主に有向グラフの近似アルゴリズムに関心がありますが、無向の場合の近似結果も役立つ場合があります。 洞察をありがとう。

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