の平面化された図面のパス幅

完全な二部グラフのpathwidthサイズの分かれたセットと及び最大である。次のプロセスでこのグラフを平坦化することに興味があります。$K_{3,n}$$3$$n$$3$

1. エッジがその内部に頂点を含まないように、また任意のポイントで2つ以下のエッジが交差するように、平面に描画します。
2. 2つのエッジのすべての交差点を次数4の新しい頂点で置き換えます。

次に、結果のグラフは明らかに平面です。一方で定数pathwidthを持っている、いくつかの予備調査は関係なく、あなたが平坦化するために使用描くことを示唆している、あなたが平坦化されたグラフは、一定のpathwidthの独立していることを保証することはできません、平坦化されたグラフのパス幅は、とともに増加する必要があると思います。これは既知ですか、それとも既存の結果によって暗示されますか？$K_{3,n}$$K_{3,n}$$n$$n$

一方、一定の次数と制限されたパス幅の一連のグラフがあります。これは、パス幅を定数より大きくすることなく平坦化できます。これは有界次数とパス幅のグラフで常に可能であるという一般的な結果はありますか？

の単純な描画はパス幅を持ちます。私はそれがタイトで、パス幅は常にであると思います。理由はここにあります。$K_{3,n}$$O(n)$$\Omega(n)$

（1）描画を修正します。一般性を失うことなく、2つの入射エッジが交差しておらず、2つのエッジが2回交差していないと想定できます。それ以外の場合は、パス幅を損なうことなくこれらの交差を排除するように図面を変更できます。すべてのサブグラフには交差があり、特定の交差をサブグラフに拡張する方法は通りあり、サブグラフ。したがって、交差の数は少なくともです。（実際には約 2/4のタイトバウンドがわかっていますが、それ以外は変わりません。）$K_{3,n}$$K_{3,3}$$K_{3,n}$$n-2$$K_{3,3}$$\tbinom{n}{3}$ $K_{3,3}$$n^2/6$$n^2/4$

（2）をのすべてのエッジのセットに設定し、図面全体の交差の線形配置を考慮します。次の手順を繰り返します。$S$$K_{3,n}$

（2a）のエッジのペア間の交差を二等分するその配置の点を考慮してください。他のエッジとのすべての交差点がこの二等分線の同じ半分にある場合はのエッジを「カット」し、そうでない場合は「アンカット」と定義します。$S$$S$$S$

（2b）図面のカットエッジが少なくともある場合（いくつかの適切な定数）、それらのそれぞれは、線形配置の2等分点と交差する平坦化のエッジに寄与します。これは、線形配置が頂点分離番号持っていることを示していますが、パス幅は線形配置の最小の頂点分離番号であるため、パス幅もです。$\epsilon n$$\epsilon$$\Omega(n)$$\Omega(n)$

（2c）残りのケースでは、カットエッジがほとんどないため、の交差点のほとんどは、カットされていないエッジのペアから来ています。 -交差のほぼ半分は2分割の両側にあり、2分割の2つの側面の少なくとも1つはのエッジの半分未満です。をその側のエッジのサブセットで置き換え、繰り返します。$S$$S$$S$$S$$S$

（3）ステップ（2a）〜（2c）を繰り返すたびに、の交差/エッジのペアの密度が約2倍になります。交差の数が半分になり、エッジのペアの数が4分の1になるためです。この密度はすでに一定で始まり、1を超えることはできません。したがって、一定数の繰り返しの後、ステップ（2b）は線形の数のカットエッジを見つけることに成功し、パス幅が少なくとも線形であることを示します。$S$

有界度有界パス幅グラフには、平面化が有り、パス幅が有るレイアウトがあるというあなたの提案に関しては、これは確かに本当であるように思われます。

頂点の分離数が制限されている特定のグラフの頂点の線形順序を見つけます。つまり、順序付けの左から右へのスイープの各ポイントで、スイープポイントの左側に有限に多くの頂点があり、スイープポイントに隣接しています。正しい。この順序の左から右へのスイープでグラフを描画します。そのエッジは水平トラックに配置され、部分的に完成した各頂点には、残りのエッジが右に接続されるトラックのセットがあります。したがって、トラックの総数は、次数とパス幅の積です。$O(1)$$O(1)$。新しい頂点に到達したら、それに接続する必要がある他の頂点のトラックにほぼ垂直のコネクターを追加し、その出力トラックへの接続を短くすることができます。これは、頂点分離番号3、次数3、および頂点ごとに3つのトラックの例です。

また、このレイアウトは分離数に制限があります。交差点がトラック上にあるため、トラックごとに不完全な近傍を持つ頂点が最大で1つ存在する可能性があるためです。したがって、平坦化のパス幅もであり、より正確には次数と元のパス幅の積に最も比例します。$O(1)$