直感：三角形のないグラフでの奇数サイクルの横断

場合、そのI推測 $G$ 単純三角形フリーグラフであり、次いで、せいぜいのセットがある $n^2/25$ 欠失毎奇数サイクルを破壊するエッジが。

詳細については、Erdösらによる1988年の論文、How to Make a Graph Bipartiteを参照してください。

質問1：この推測はあなたの直感に当てはまりますか？

質問2：グラフの奇数サイクルの数を数える複雑さは何ですか？それを行うための効率的なアルゴリズムはありますか？

graph-theory

— 徐英平
ソース

私の直感は、あなたが（の3つのグループのグラフを検討以上よりも必要と言う

n / 3

$n/3$ の頂点

V_{1}, V_{2}, V_{3}

$V_1,V_2,V_3$ すべてのエッジがあることを、このような

V_{1} \to V_{2} \to V_{3} \to V_{1}

$V_1 \to V_2 \to V_3 \to V_1$ ない考えを持っています、それを介して）。

n^{2} / 9

$n^2/9$ はるかに直感的に結合しています。しかし、私の直感では、「エルデスがそう言った場合、それは真実である必要があります:)」とも言います。正確に

の長さの単純なサイクルをカウントすること

2 k + 1

$2k+1$ は、＃W [1]困難です（

に関して）

k

$k$ ）、しかしすべての奇数サイクルを見つける簡単な方法があるかもしれません。

— RB

@RBこれはすでに答えになるはずです。

— Yixin Cao

実際、私は三角形のない部分を完全に無視しました：o。こうしたグラフのために、私の直感では、それは本当だ、とタイト（考える言い

均等分配のために

。

V_{1} \to V_{2} \to V_{3} \to V_{4} \to V_{5} \to V_{1}

$V_1\to V_2\to V_3\to V_4\to V_5\to V_1$

V_{1}, . ., V_{5}

$V_1,..,V_5$

— RB

親愛なるルペイ、erdosによる2つのよく知られた推測があります。RBによって提案されたグラフ（そしておそらくあなたも念頭に置いていた）は、極端な値を与えると仮定されています。1つは、5n個の頂点を持つ三角形のないグラフの五角形の最大数に関するものであり、もう1つは、三角形のないグラフを2部グラフに変換するために必要なエッジの最小数に関する予想と同じです。最近、最初の予想でかなりの進歩があったことを漠然と覚えていますが、おそらく2つを混同しているのかもしれません。

— Gil Kalai 14

@GilKalai、コメントありがとうございました。カライ教授、私はあなたが意味する結果を示す次の論文を見つけました：Simonovits、Miklós。「極値グラフ理論に対するポール・エルデスの影響」ポール・エルデス2世の数学。スプリンガーベルリンハイデルベルク、1997年。

— Rupei Xu

回答:

私の直感はそれはおそらく本当であると言います、そしてここに一致する下限があります（すなわちあなたが少なくともを削除しなければならないグラフ）バイパータイトになるためのエッジ： $\frac{n^2}{25}$

、 $G=(V_1\cup V_2\cup V_3\cup V_4\cup V_5, (V_1\times V_2) \cup (V_2\times V_3) \cup (V_3\times V_4) \cup (V_4\times V_5) \cup (V_5\times V_1))$ 。 $|V_1| = |V_2| = |V_3| = |V_4| = |V_5|$

このグラフは確かに三角形がありませんが、場合エッジが依然として存在する削除する、いくつかの頂点のが。 $x<\frac{n^2}{25}$ $C_5=v_1\to v_2\to v_3\to v_4\to v_5 \to v_1$ $v_1\in V_1, v_2\in V_2, v_3\in V_3, v_4\in V_4, v_5\in V_5$

2番目の質問については、十分に長さの単純なサイクルをカウントすることが知られているである $2k+1$ $\#W[1]-hard$ に対して、、および時間で計算することができない ETHが失敗しない限り。 $k$ $n^{o(k)}$

しかし、存在する可能性は、そのようなサイクルの数を近似するために。 $O^*(2^{O(k)})$

— RB
ソース

"*"はどういう意味ですか？解決したいという希望はあるようです。ありがとう。

O * (2^{O (k)})

$O∗(2^{O(k)})$

— Rupei Xu 2014

@Saeed-私が知る限り、これは

が表すものであり、これは多くの論文（たとえば）でこのように使用されています。私はあなたがように言及しているものに精通してる

のために短い書き込みである

。

O^{*} (f (k))

$O^*(f(k))$

\tilde{O} (f (n))

$\widetilde O(f(n))$

O (f (n) p o l y l o g (f (n)))

$O(f(n)polylog(f(n)))$

— RB

OK、私はあなたのリンクの紙を見ることができますが、あなたが言った方法のようではありませんが、例えば、この論文を参照してください。lamsade.dauphine.fr/~boria/papers/SteinerTSP.pdfを、いくつかの被乗数れ、私が意味するように、* Oを使用していますたとえば、アルゴリズムn ^ 3 lognがある場合、O *（n ^ 3）、またはO（2 ^ nn）、O（2 ^ n log n）、...と書くことができます。それはO *（2 ^ n）ですが、パラメーター化された複雑さで、誰かがO *（f（k））を書くことを私が見たことがない（または気づかなかった）場合、O（f（k）poly（n））を意味します。 O（f（k）poly（k））だと思いますが、O *（f（k））の

はどこですか、私は間違っているかもしれません。

n

$n$

— 2014

パラメータ化された複雑さで使用されている表記法はいくつかあると思います。別の例は、[スタンフォードのパラメータ化されたアルゴリズムの講義]（stanford.edu/~rrwill/scribe5.pdf）で見ることができます。実際、パラメーター化された複雑さの外では

表記の使用を見たことがないので、注意してくれてありがとう:)

O^{*}

$O^*$

— RB

ご参考までに、1つの表記を異なる意味で見るのは興味深いことです。

— 2014

推測を証明する1つの方法は、三角形の除去補題が証明される方法と同様に、ゼメレディの規則性補題を使用することです（たとえば、こちらを参照）。ただし、このアプローチから適切な定数が得られるかどうかはわかりません。

— メビウス団子
ソース

セーメレディの規則性補題では、通常、多数のパーティションを想定しているため、パーティションの正確な値を取得するのは簡単ではありません。ここではうまくいかないのかもしれません。

— Rupei Xu