カーディナリティー制約付きの有向最小カットの近似アルゴリズム

有向グラフ上カーディナリティ制約付き最小 - -cut既知の近似結果があるかどうかを知りたいです。文献ではそのような結果を見つけることができませんでした。 $s$ $t$

問題は次のように定義されます。

インスタンス：有向グラフ、コスト関数、2つの頂点および整数。 $G=(V,E)$ $w : E \to \mathbb{R_0^+}$ $s,t \in V$ $k$

溶液：アン -の留分、すなわちパーティション 2つのセットによう、とカットが最大である交差エッジの数、すなわち。 $s$ $t$ $V$ $V_1, V_2$ $s \in V_1$ $t \in V_2$ $k$ $|\{ (u,v) \in E: u \in V_1, v \in V_2 \}| \le k$

測定（最小化）：カットのコスト：

\sum_{(u, v) \in E : u \in V_{1}, v \in V_{2}} w (u, v)

$\sum_{ (u,v) \in E : u \in V_1, v \in V_2 } w(u,v)$

「カーディナリティー制約および複数基準（マルチ）カットの問題」では、autorsは、この問題が無向グラフの場合でも強くNP困難であることを証明しています。

主に有向グラフの近似アルゴリズムに関心がありますが、無向の場合の近似結果も役立つ場合があります。

洞察をありがとう。

— スティーブン
ソース

申し訳ありませんが、それは答えではありません。実際に、私は二基準近似を単基準近似に変換する方法を尋ねたいのですか？私を許してください。

— 建豪馬

次のように二基準近似を取得できます（またはより一般的には二基準近似）。 $(2,2)$ $(1+\varepsilon, 1 + 1/\varepsilon)$

最適なソリューションのコストがわかっていると想定する場合があります。で、それを表す。ましょう最適なソリューション検討します。次に、 $OPT$

w^{'} (u, v) = \frac{w (u, v)}{O P T} + \frac{1}{k} .

$w'(u,v) = \frac{w(u,v)}{OPT} + \frac{1}{k}.$

(V_{1}, V_{2})

$(V_1, V_2)$

\sum_{(u, v) \in E (V_{1}, V_{2})} w^{'} (u, v) = \sum_{(u, v) \in E (V_{1}, V_{2})} (\frac{w (u, v)}{O P T} + \frac{1}{k}) = 1 + \frac{| E (V_{1}, V_{2}) |}{k} \leq 2.

$\sum_{(u,v) \in E(V_1, V_2)} w'(u,v) = \sum_{(u,v) \in E(V_1, V_2)} \left(\frac{w(u,v)}{OPT} + \frac{1}{k}\right) = 1 + \frac{|E(V_1,V_2)|}{k} \leq 2.$

私たちのアルゴリズムは、エッジの重みがであるの最小有向 -カットを見つけます。このカットのコストは最大です。したがって、カットは最大でエッジ。カットのコストは最大で $s$ $t$ $(V_1', V_2')$ $G$ $w'$ $2$ $(V_1', V_2')$

E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'}) = \sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} 1 \leq k \sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} w^{'} (u, v) \leq 2 k

$E(V_1', V_2') = \sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2') } 1 \leq k \sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2')} w'(u,v) \leq 2k$

\sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} w (u, v) \leq O P T \sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} w^{'} (u, v) \leq 2 O P T .

$\sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2')} w(u,v) \leq OPT \sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2')} w'(u,v) \leq 2OPT.$

— ゆり
ソース

どうもありがとう。あなたのアルゴリズムは非常に興味深く、洞察に満ちています。残念ながら、ビクトリテリア近似アルゴリズムでは、カーディナリティー制約に対して実行可能なすべての近似解が必要であるため、十分ではないようです。そのような結果が文献で知られているかどうか知っていますか？再度、感謝します！

— スティーブン

このアプローチを使用すると、近似を得ることができます。おそらく、LPを使用して近似を取得することもできます。しかし、それ以上のものを手に入れるのはかなり難しいようです。特に、自然なLP緩和にはLPの積分ギャップがあります。LET。接続にと重量1のエッジ各々、接続にと重量0の縁最適組合せソリューションは、コスト有する。最適LP溶液アサインからエッジにに、及び

k

$k$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

V = s, t, x

$V={s,t,x}$

s

$s$

x

$x$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

x

$x$

t

$t$

k + 1

$k+1$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

x_{e} = 2 / (k + 1)

$x_e=2/(k+1)$

s

$s$

x

$x$

x_{e} = 1 - 2 / (k + 1)

$x_e=1-2/(k+1)$ からからまでのエッジ。そのコストはです。ギャップはです。

x

$x$

t

$t$

1

$1$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

— Yury

あなたの答えをありがとう、あなたが言うことは、

-apxでさえかなり悪いことがあるので、問題の「良い」単クレテリア近似を開発するのは難しいかもしれないことを示唆します。あなたの洞察をありがとう！:)

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

— スティーブンは