ランダムな有向グラフ内のいくつかのパスによって接続されている2つの頂点の確率

をランダムな有向グラフとして定義します（頂点個。2つの頂点の間にエッジを確率）。 $G(n, p)$ $n$ $p$

次の問題の既知の結果は何ですか。

2つの頂点と修正します。と間に少なくとも（最大での長さの）パスがある確率はどれくらいですか？（明らかに、結果は、および関数であるべきです）。正確な答えがわからない場合は、上限も機能します。 $v$ $u$ $k$ $u$ $v$ $n$ $p$ $k$

— ダニエル
ソース

のどの値を検討していますか？

p

$p$

— Igor Shinkar、2015年

@IgorShinkar大きな違いはありますか？私は特定の数を考えていません。a確率。

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— ダニエル

標準のErdos-Renyiアプローチを変更してみましたか。変更した場合、どのような困難がありますか？

— usul 2015年

予想されるパス数の計算を検討しましたか？期待値の線形性により、計算/推定がはるかに簡単になります。また、パスが存在する可能性の良い代用にもなります。つまり、予想されるパスの数が0.01の場合、少なくとも99％の確率でパスはありません。予想されるパスの数が100の場合、確率が高いパスがあると思います。

— トーマス

良い提案トーマス。念の私はあなたの考えを理解させるします表す長さのパスの数

と

。長さ

のパスの予想数は（右？）「X_i =（Y_i> 0）」を定義します。これは、2つの頂点の間にサイズのパスを持つ（パスの存在イベントを示します。であることがわかっていこれは、。これは、に上限を与えます。

i

$i$

Y_{i}

$Y_i$

i

$i$

E [Y_{i}] = (\binom{n - 2}{i - 1}) (i - 1)! p^{i}

$E[Y_i] = { n-2 \choose i-1} (i-1)! p^i$

i (i > 0)

$i (i > 0)$

P (X_{i}) = P (Y_{i} > 0) = \sum_{j = 1}^{\infty} P (Y_{i} = j)

$P(X_i) = P(Y_i > 0) = \sum_{j=1}^{\infty} P(Y_i = j)$

E [Y_{i}] = \sum_{j = 0}^{\infty} j . P (Y_{i} = j)

$E[Y_i] = \sum_{j=0}^{\infty} j. P(Y_i = j)$

\sum_{i = 1}^{k} E [Y_{i}]

$\sum_{i=1}^{k}E[Y_i]$

P (\lor_{i = 1}^{k} X_{i} = 1) = P (\lor_{i = 1}^{k} Y_{i} > 0)

$P( \vee_{i=1}^k X_i =1 ) = P( \vee_{i=1}^k Y_i >0)$

— ダニエル

段階で進行するBFS探索プロセスを考えます。置く。所与、からすべてのエッジ探索する（ここで、すべての頂点の集合である）、およびセットすべてで構成しますこの方法で到達した頂点。それらの数は簡単に計算できる二項分布を持っています。ステップ後、頂点が属しているかどうかを確認します。 $k$ $V_0 = \{u\}$ $V_0,\ldots,V_i$ $V_i$ $V \setminus \bigcup_{j=0}^i V_j$ $V$ $V_{i+1}$ $k$ $v$ $\bigcup_{j=0}^k V_j$

このプロセスは、無向の場合と有向の場合の両方でまったく同じであることに注意してください。したがって、それが何であれ、答えは両方のモデルで同じです。おそらく無向の場合、答えはわかっており、調べることができます。それ以外の場合は、サイズを推定することで推定できますしたがって、確率そのは属しています。 $|V_i|$ $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^k |V_i|$ $v$ $\bigcup_{i=1}^k V_i$

— ユヴァルフィルムス
ソース

なぜ反対票か。

— Yuval Filmus

これにより、パスがk以下ではなく正確に kである確率が得られます。あれは正しいですか？

— Daniel

それが書かれているように、それは「せいぜい」バリアント用です。

— Yuval Filmus、2018年