優れた特性評価における奇妙な非対称性

多くの定理があり、その多くはグラフ理論と組み合わせ最適化にあり、これらは多くの場合、優れた特性評価と呼ばれています。彼らは一般的にプロパティを置く、プロパティが保持しているか、他のいくつかのよく識別障害物が保持できないようにそれをすることをそこにあることを示すことによって。多くの場合、それらはmin-maxの定理として提示されます。前の質問「適切な特性の最適化問題」を参照してください。ただし、多項式時間アルゴリズムはありません。$NP\cap co-NP$

以下は、優れた特性評価の2つの古典的な例です。

1. 2部グラフのサイズはであるか、すべてのエッジをカバーする頂点がk個未満です。そのようなカバーの存在は、マッチングを除外するささいな障害です。この障害物がない場合、マッチングが存在する必要があります。これは、ケーニッヒの定理として知られている重要な部分です。$k$$k$

2. 存在するいずれかの値の流れFは、フローグラフに、あるいは存在するS - のT未満の容量を有するカットFは。この場合も、流れが通過できないため、このようなカットの存在はささいな障害です。重要な部分は、障害物がないことで、値Fのフローの存在が既に保証されていることです。これは、最大フローの最小カット定理と同等です。$s-t$$F$$s-t$$F$$F$

これら（および他の多く）の結果で興味深い特徴を見つけたのは、等価の2つの方向の間のプルーフ硬度に、目に見える非対称性がよく見られるということです。通常、障害物が考慮された特性を除外していることを証明することは簡単であり、些細なことです。一方、簡単/ささいな障害物が唯一の障害物であることを証明することははるかに困難です。

この種の非対称性がなぜそれほど一般的であるのかについては、良い説明はわかりません。事前に必要なようには見えません。注：上記の例はどちらも線形計画法の双対性の特殊なケースであることを誤解しないでください。線形計画法とは何の関係もない他の例があります。

$NP\cap co-NP$

（これはSasho Nikolovのコメントに答えるためのものですが、コメントフィールドには長すぎるので、答えとして投稿します。）

元の質問の2つの例は、LP双対性の特殊なケースです。多くの類似した例がありますが、それらはすべてLP双対性から非対称性を継承していると主張できます。弱いLP双対性は簡単に証明できます（「自明な障害」を提供します）。一方、強い双対性はより深く、自明な障害が唯一の障害であることを証明します。この意味で、「LPの子供」である例は、同じコアの例の異なる化身にすぎないと見なすことができます。

ただし、（私の知る限りでは）LPに関連しない他のいくつかのケースがあります。以下の例はすべてグラフ理論によるものですが、他のフィールドにも同様のパターンが含まれている可能性があります。

1. $k, l, d$$k$$l$$d$$k\leq l \leq d$。これらのパラメータが常に不等式を満たすことを証明することは（ほとんど）簡単なことなので、少なくとも1つの不等式の違反は、そのようなグラフが存在するための重要な障害です。そのようなグラフが常に存在するというもう1つの方向は、重要です。（Bollobasの本の「極値グラフ理論」の定理1.5を参照してください。注：表示方法は、より複雑で、不等式を使用しています。これは、別のパラメーター、頂点の数も使用するためです。ただし、この単純なバージョンでは、ここから抽出されたものであり、ここでもささいな障害が唯一の障害であるという本質的な性質を示しています。

2. $\geq 3$$K_5$$K_{3,n-3}$

3. $d_1\geq\ldots\geq d_n$$k\geq 2$$k$$d_1\geq\ldots\geq d_n$$d_n\geq k$、エッジの接続性は上から最小次数で制限されているため、これも簡単に必要です。これらの本質的に些細な必要条件が満たされると、望ましいグラフが常に存在します。

4. $G$$H$$G$$H$$G$$|E(H)|$$|E(G)|$$g$$H$$g$$|V(G)|-1$