特性評価は良好だが、多項式時間アルゴリズムはない最適化問題

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次の形式の最適化問題を検討してください。ましょう、文字列にマッピング多項式時間計算可能関数である有理数に。最適化の問題はこれです：ビット文字列上の最大値は何ですか？ $f(x)$ $x$ $f(x)$ $n$ $x$

が成り立つような別の多項式時間計算可能関数がある場合、そのような問題にはミニマックスの特性があるとしましょう。ここで、はすべてのビット文字列で実行され、はすべてのビット文字列で実行されます。とは異なる場合がありますが、多項式的に関連しています。 $g$

max_{x} f (x) = min_{y} g (y)

$\max_x f(x) = \min_y g(y)$

x

$x$

n

$n$

y

$y$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

多くの自然で重要な最適化問題には、このようなミニマックスの特性があります。いくつかの例（特性化の基礎となる定理を括弧内に示します）：

線形計画法（LP双対性Thm）、 最大流量 （Max Flow Min Cut Thm）、 最大2部一致 （Konig-Hall Thm）、 最大非2部一致 （TutteのThm、Tutte-Berge式）、 有向グラフの最大ディスジョイントアーボレッセンス （エドモンドの分断分岐Thm）、 無向グラフの最大スパニングツリーパッキング （TutteのツリーパッキングThm）、 森林による最小被覆 （ナッシュウィリアムズThm）、 最大有向カットパッキング （Lucchesi-Younger Thm）、 最大2マトロイド交差 （マトロイド交差点） Thm）、 Max Disjoint Paths （Menger's Thm）、 半順序セットの最大アンチチェーン （Dilworth Thm）、およびその他多数。

これらのすべての例で、最適時間を見つけるための多項式時間アルゴリズムも利用できます。私の質問：

これまでに多項式時間アルゴリズムが見つかっていない、ミニマックスの特性評価に最適化の問題はありますか？

注：線形計画法は約30年間この状態でした！

— アンドラス・ファラゴ
ソース

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いくつかの技術的な意味では、求めているかどうか。仮定、こうしてポリ時間が存在するおよびように IFF と IFF $P = NP \cap coNP$ $L \in NP \cap coNP$ $F$ $G$ $x \in L$ $\exists y: F(x,y)$ $x \not\in L$ $\exists y: G(x,y)$ 。これは、によって特徴づけMINMAXとして書き直すことができるならばと、そうでない場合であればし、そうでありません。実際、ます。 $f_x(y) = 1$ $F(x,y)$ $f_x(y) = 0$ $g_x(y) = 0$ $G(x,y)$ $g_x(y) = 1$ $max_y f_x(y) = min_y g_x(y)$

したがって、この意味で、がわかっているが、ことが知られていない問題は、あなたの質問に対する答えに変えることができます。たとえば、ファクタリング（たとえば、最大ファクタの番目のビットが1 であるかどうかの決定バージョン）。 $NP \cap coNP$ $P$ $i$

— ノーム
ソース

9

some

を「優れた特性評価」の定義として

ている人もいるという印象を受けました。

N P \cap c o N P

$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

— ジョシュアグロチョフ14

そして、そのような問題のリストについては、mathoverflow.net / questions / 31821 /…を

— Rahul

14

シーモアとトーマスは、ツリー幅の最小-最大特性を示しました。ただし、ツリーの幅はNPハードです。ただし、二重関数は短い証明書の多項式時間で計算可能な関数ではないため、これは求めている特性化の種類ではありません。これは、NP完全問題では避けられない可能性が最も高いと考えられます。さもないと、coNPでNP完全問題が発生し、NP = coNPの崩壊が暗示されることになります。 $g$

ツリー幅グラフのの木分解の最も小さい最小幅に等しい。グラフの木分解木であるの各頂点のようなの設定することにより標識されているの頂点の特性を有します。 $G$ $G$ $G$ $T$ $x$ $T$ $S(x)$ $G$

すべてのため、。 $x \in V(T)$ $|S(x)| \leq k+1$
すべてのの和集合は頂点セットです。 $S(x)$ $G$
すべてのためのサブグラフすべてによって誘導されるれる接続されています。 $u \in V(G)$ $T$ $x$ $u \in S(x)$
すべてのエッジいくつかのサブセットであるのため。 $(u, v) \in E(G)$ $S(x)$ $x \in V(T)$

シーモアとトーマスは、ツリー幅が等しくなる示しキイチゴ数の最大：の接続部分グラフの集合が存在するようにように： $G$ $k$ $G$

2つのサブグラフは、エッジで交差または接続されています。
の頂点のセットは、すべてのサブグラフにヒットしません。 $k$ $G$

このようなサブグラフのコレクションは、次のブランブルと呼ばれます。 $k$

「いばらの数は、少なくともされている様子がわかり」ある指数関数的に大きなセット以上の両方の数量との声明、。そのため、簡単に検証できる証明書は提案していません（また、上記で述べたように、本当に大きなニュースになる証明書がある場合）。物事をさらに悪化するために、グローエとマルクスはすべてのためにあることを示したのグラフがあるツリー幅ための任意キイチゴ少なくともように指数関数的に多くの部分グラフから構成されなければなりません。彼らはまた、注文のイバラが存在することを示し $k$ $\exists\forall$ $k$ $k$ $k^{1/2 + \epsilon}$ 多項式サイズ。 $k^{1/2}/O(\log^2 k)$

— サショ・ニコロフ
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ありがとう、それは私が探しているカテゴリに該当しない場合でも、非常に良い例です。ツリー幅に関するこの最小-最大定理が1993年に公開され、その時点でツリー幅のNP完全性がすでに知られていたことに注意することは興味深いです。したがって、結果はNP = coNPを推測する理由として役立つ可能性があります。ブランブルサイズの指数関数的な下限はその役割に対して最終的に失格となりましたが、この下限は16年後に公開されました。

— アンドラスファラゴ

アンドラスは、当時、ヒットセットが一般にNP困難であることも知っていました（Karpの21の問題の1つでした）。したがって、多項式サイズのブランブルがあっても、ブランブルの構造を何らかの方法で使用できない限り、次数の計算は簡単ではありません。それでも、キイチゴのサイズが以前に調査されなかったことは興味深い。

— サショニコロフ14

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パリティゲーム、平均ペイオフゲーム、割引ゲーム、および単純確率ゲームはこのカテゴリに含まれます。

それらはすべて、グラフでプレイされる無限の2プレーヤーのゼロサムゲームであり、プレーヤーは頂点を制御し、トークンを次に移動する場所を選択します。すべてがメモリレスのポジショニング戦略に均衡を持っています。つまり、各プレイヤーは各選択頂点でエッジを決定論的に選択し、プレイの履歴に関係なく選択します。1人のプレイヤーの戦略を考えると、他のプレイヤーの最適な応答は多項式時間で計算でき、ゲームの「値」に対して必要な最小と最大の関係が保持されます。

これらの問題の自然決定バリアントはNPとco-NP（実際にはUPとco-UP）にあり、関数の問題は平衡を見つけるためにPLSとPPADにあります。

、ここではゲームグラフの頂点の数です）。 $O(n^\sqrt{n})$ $n$

たとえば、

デビッド・S・ジョンソン。2007. NP完全性コラム：干し草の山から針を見つける。ACM Trans。アルゴリズム3、2、第24条（2007年5月）。DOI = 10.1145 / 1240233.1240247 http://doi.acm.org/10.1145/1240233.1240247

— ラーフル・サヴァニ
ソース