タグ付けされた質問 「graph-isomorphism」

Hを生成するGの頂点の再ラベル付けがある場合、2つのグラフG、Hは同型であり、逆も同様です。グラフ同型問題(GI)は、与えられた2つが同型かどうかを決定します。その実用的な関心に加えて、未知の複雑さを持っていると1972年にKarpによって識別され、NP中間問題の残りの数少ない自然候補の1つであり、複雑度クラスAMの作成につながりました。

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ババイの新しいグラフ同型結果を引用するには?
最近、BabaiはSTOC 2016に関する論文を発表しました。これは、グラフの同型は準多項式時間で解決できると主張しています。 2017年の初めに、Babaiは、Harald Helfgottが発見したいくつかの重大な誤りのために、準多項式の主張を撤回しました。ババイ自身が説明したように、この欠陥により、実行時間の点で改善がより控えめになります。 準多項式の主張を撤回してから約5日後、Babaiはホームページで別の更新を投稿し、証拠の欠陥を修正したと主張して、このようにして準多項式の実行時間を回復しました。 証明の正確性に関するこの急速な変化の後、私は通常、尊敬されるジャーナルに掲載されるまで新しい論文を完全に無視するだろうと言わざるを得ません。 しかし、BabaiはBabaiであるため、すべての修正が実装された新しいバージョンのペーパーは入手できなくても、コミュニティのほとんどは少なくとも公に彼の言葉を当たり前だと思っています。優秀な人でもミスを犯し、新しい修正プログラムにも欠陥などがある可能性は無視できないことに注意してください。 それでは、新しい結果をどのように引用すればよいのでしょうか? 準多項式の上限を主張するSTOCの論文を引用してください。 重大な欠陥があり、実際の実行時間が以前の準指数下限を改善することを説明するSTOCの論文を引用してください。 ババイによって修正された欠陥があるとSTOCの論文を引用してください。 まったく引用せず、2 Oの古い上限を述べます(√現在確立されている上限として。2O (n√)2O(n)2^{O(\sqrt{n})}

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Corneilのグラフ同型の効率的なアルゴリズムの反例
Corneil and Gotliebによる論文「同型写像のための効率的なアルゴリズム」、1970年に、多項式時間でGIを解くために述べられたアルゴリズムに依存する推測が述べられました。すなわち: 代表的なグラフが与えられたグラフの自己同型分割を示すこと 明らかに、この推測は今まで証明されていません(そうでなければ、GIがPにあることがわかります)。私の質問は、それがすでに偽であることが示されていて、おそらく反例が与えられたかどうかです。


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同様の行列
2つの行列および与えられた場合、B = P ^ {-1} APとなるような置換行列Pが存在するかどうかを決定する問題は(グラフ同型)と同等です。しかし、Pを緩和して単なる可逆行列にした場合、その複雑さはどうなりますか?この問題や他の困難な問題に関連する順列以外に、可逆行列Pに他の制限はありますか?n × nn×nn \times nAAABBBPPPB = P− 1A PB=P−1APB = P^{-1}APGIPPPPPPGI

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グラフ分割問題のNP困難性?
私はこの問題に興味があります:無向グラフ与えられた場合、GがグラフG 1(E 1、V 1)とG 2(E 2、V 2)に分割され、G 1そしてG(E,V)G(E,V)G(E, V)GGGG1(E1,V1)G1(E1,V1)G_1(E_1, V_1)G2(E2,V2)G2(E2,V2)G_2(E_2, V_2)G1G1G_1は同型ですか?G2G2G_2 ここで、は2つの互いに素なセットE 1およびE 2に分割されます。セットV 1とV 2は必ずしもばらばらではありません。E 1 ∪ E 2 = EとV 1 ∪ V 2 = V。EEEE1E1E_1E2E2E_2V1V1V_1V2V2V_2E1∪E2=EE1∪E2=EE1∪E2=EV1∪V2=VV1∪V2=VV1∪V2=V この問題は、少なくともグラフ同型問題と同じくらい困難です。私はそれがグラフ同型よりも難しいが、NP-ハードよりは難しいと思います。 このパーティションの問題はハードですか?NPNPNP EDIT 3-3-2012:MathOverflowに投稿しました。 編集3-5-2012:ディエゴの答えの参考文献は未発表の結果の1つであることが判明しました。掘り下げた後、NPの完全性のコラム:David JOHNSONによる進行中のガイド(8ページ)で、それに対する参照を見つけました。グラハムとロビンソンのNP完全性の結果を未発表として引用する他の論文を見つけました。

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対称性と計算の難しさの関係?
-fixed点フリー同型問題は、グラフ同型少なくとも移動を要求K (N )ノード。問題は、c > 0 に対してk (n )= n cの場合、N P完全です。kkkk(n)k(n)k(n)NPNPNPk(n)=nck(n)=nck(n)=n^cccc ただし、場合、問題はグラフ同型問題に還元可能な多項式時間チューリングです。もしK (N )= O (ログN /ログログN )、問題がであるグラフ同型問題にチューリング等価多項式時間であり、N P Iとであることが知られていないN Pの -complete。グラフ自己同型問題は、グラフ同型問題にチューリング還元可能です。k(n)=O(logn)k(n)=O(log⁡n)k(n)=O(\log n)k(n)=O(logn/loglogn)k(n)=O(log⁡n/log⁡log⁡n)k(n)=O(\log n/\log \log n)NPINPINPINPNPNP グラフ自己同型によって移動した頂点の数をカウントする複雑さについて、Antoni LozanoおよびVijay Raghavan Foundation of Software Technology、LNCS 1530、pp。295–306 検出しようとしているオブジェクトの対称性を高めると、(自己同型によって移動する必要のあるノードの数で示されるように)計算の困難さが増しているように見えます。これは、NP完全版からグラフ自己同型(GA)への多項式時間チューリングの削減の欠如を説明しているようです。 この対称性と硬度の関係をサポートする難しい問題の別の例はありますか?

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グラフ同型テストのハードインスタンス
強く規則的なグラフの場合は、GIテストにとって最も難しいものですか? ここで、「最も難しい」は、いわば「常識」の意味、または「平均」で使用されます。 Wolfram MathWorldはいくつかの「病理学的に難しいグラフ」に言及しています。彼らは何ですか? 25組のグラフのサンプルセット:http : //funkybee.narod.ru/graphs.htm他の多くのテストを行いましたが、すべて同じ種類-SRGまたはRG(http://www.maths.gla.acから).uk /〜es / srgraphs.htmlまたはgenreg.exeの。たとえば、1000個のグラフを生成した場合、すべての1000 *(1000-1)/ 2ペアをテストします。もちろん、度数のソートされたベクトルが異なるグラフなどの明白な(「愚かな」)ケースはテストしません。しかし、プロセスは無限であるように見え、ある程度無益な匂いがします。どのテスト戦略を選択すべきですか?それとも、この質問はGI問題自体とほぼ同等ですか? 私は紙にthesis_pascal_schweitzer.pdf (@ 5501が推奨)のグラフを書き直しさえしました。その素敵な写真:http : //funkybee.narod.ru/misc/furer.jpg よく分かりませんが、まさにこの種のグラフのように見えます。 しかし、紳士、電子書籍からグラフを紙にコピーするのは私にとってもやり過ぎです。 25 0100000000000000000000000 1010000000000000000000000 0101000000000000000000100 0010100000000010000000000 0001010000001000000000000 0000101000000000000000000 0000010100000000000000000 0000001010000000000000000 0000000101000000000000000 0000000010100000000000000 0000000001010000000000000 0000000000101000000000100 0000100000010000000000010 0000000000000010000001010 0001000000000101000000000 0000000000000010100000000 0000000000000001010000000 0000000000000000101000000 0000000000000000010100000 0000000000000000001010000 0000000000000000000101000 0000000000000100000010100 0010000000010000000001000 0000000000001100000000001 0000000000000000000000010 0100000000000000000000000 1010000000000000000000000 0101000000000000000000100 0010100000000010000000000 0001000000001000000010000 …

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不完全なサブグラフ同型
次の問題を考えてみましょう:クエリグラフおよび参照グラフ与えられた場合、単射写像を見つけて、エッジように。これは、サブグラフをいくつかの欠損エッジまで同型にすることができ、欠損エッジの数を最小限にする方法を見つけたいサブグラフ同型問題の一般化です。G ' = (V '、E ')、F :V → V '(V 1、V 2)∈ E (F (V 1)、F (V 2))∉ E 'G=(V,E)G=(V,E)G = (V, E)G′=(V′,E′)G′=(V′,E′)G' = (V', E')f:V→V′f:V→V′f : V \rightarrow V'(v1,v2)∈E(v1,v2)∈E(v_1, v_2) \in E(f(v1),f(v2))∉E′(f(v1),f(v2))∉E′(f(v_1), f(v_2)) \notin E' また、頂点のカップルが重み(場合はゼロでなければなりませんの重み付きバージョンにも興味があります。、およびについても同様で、(\ max参照グラフの重みよりも大きいクエリグラフの重みのみにペナルティを課すためにあります)。(v1,v2)∈V2(v1,v2)∈V2(v_1, v_2) \in V^2w(v1,v2)w(v1,v2)w(v_1, v_2)(v1,v2)∉E)(v1,v2)∉E)(v_1, v_2) \notin E)G′G′G'∑v1,v2(max(0,w(v1,v2)−w(f(v1),f(v2))))∑v1,v2(max(0,w(v1,v2)−w(f(v1),f(v2))))\sum_{v_1, v_2} (\max(0, w(v_1, v_2) - …

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ワイスフェイラー・レーマンラベルの計算の難しさ
1-DIM Weisfeiler-リーマンアルゴリズム(WL)は、一般に正規標識または色精緻化アルゴリズムとして知られています。次のように機能します。 初期着色均一で、C 0(V )= 1、すべての頂点については、V ∈ V (G )∪ V (Hします)。C0C0C_0C0(v )= 1C0(v)=1C_0(v) = 1V ∈ V(G )∪ V( H)v∈V(G)∪V(H)v \in V (G) \cup V (H) 番目のラウンド、色CのI + 1(V )前の色からなる対であると定義されるC I - 1(V )と色のマルチセットC I - 1(U )のためにvに隣接するすべてのu。たとえば、vとwの場合、C 1(v )= C 1(w )(i + 1 )(私+1)(i + 1)Ci + …

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であることが知られていないGI-ハードグラフの問題
グラフ同型()はN P中間問題の良い候補です。P = N Pでない限り、N Pの中間問題が存在します。Iは天然のために困難であるという問題を探していG Iカープ還元下(Aグラフ問題XようG I &lt; M個のP X)。GIGIGINPNPNPNPNPNPP=NPP=NPP=NPGIGIGIXXXGI&lt;mpXGI&lt;pmXGI <_p^m X 自然があるでもない-hardグラフ問題G Iの換算もあることが知られているN Pの -completeは?GIGIGIGIGIGINPNPNP

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結び目問題に触発されたGIへのアプローチ
GIとKnot Problemはどちらも、数学的オブジェクトの構造的等価性を決定する問題です。それらの間の接続を確立する結果はありますか?ノット問題と統計物理学の結び付きは、ノット多項式を介して検討されていますが、でも同様の結果がありますかG IG私GI 結び目問題に動機付けられた調べる前に、標準の結果/警告/提案/コメントがあるかどうかを知ることは特に役立ちます。実際、修士論文のためにこの方向で探検することを勧めるかどうか疑問に思っていました。および代数問題に対する量子/古典的アプローチに興味があります。他の提案は大歓迎です。G IG私GIG IG私GI

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自明な自己同型性を持つグラフの生成
暗号化モデルを修正しています。その不適切さを示すために、グラフ同型に基づいて考案されたプロトコルを考案しました。 「グラフ同型問題のハードインスタンス」を生成できるBPPアルゴリズムの存在を想定することは、「当たり前」です(まだ議論の余地があります!)。(同型の証人と一緒に。) 私の考案したプロトコルでは、1つの追加要件を満たすこのようなBPPアルゴリズムの存在を想定します。 生成されたグラフをおよびG 2とします。G 1をG 2にマップする目撃者(順列)は1つだけです。G1G1G_1G2G2G_2G1G1G_1G2G2G_2 これは、に自明な自己同型のみがあることを意味します。つまり、次のように機能するBPPアルゴリズムの存在を想定しています。G1G1G_1 入力、自明な自形のみを持つように、n頂点グラフG 1を生成します。1n1n1^nnnnG1G1G_1 ランダム順列選択かけて[ N ] = { 1 、2 、... 、N }、および上に適用G 1取得するG 2。ππ\pi[n]={1,2,…,n}[n]={1,2,…,n}[n]=\{1,2,\ldots,n\}G1G1G_1G2G2G_2 出力。⟨G1,G2,π⟩⟨G1,G2,π⟩\langle G_1,G_2,\pi \rangle 私はステップ1で、それを想定つもりだ、、必要に応じて発生させることができ、 ⟨ G 1、G 2は ⟩あるハードグラフ同型問題のインスタンス。(「ハード」という言葉を自然に解釈してください。正式な定義はAbadi et alによって与えられます。Impaliazzo&Levinの論文も参照してください。)G1G1G_1⟨ G1、G2⟩⟨G1、G2⟩\langle G_1,G_2 \rangle 私の仮定は合理的ですか?誰かが私にいくつかの参考文献を教えてもらえますか?

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Babaiの準多項式時間
G Iが準多項式であることを示す、Babaiの画期的な論文に(願わくはシンプルで、おそらく愚かな)質問があります。GIGI\mathsf{GI} Babaiは、2つのグラフことが証明書生成する方法を示しのためのI ∈ { 1 、2 }の時間準多項式に、同型であるV = | V i | 。Gi=(Vi,Ei)Gi=(Vi,Ei)G_i=(V_i,E_i)i∈{1,2}i∈{1,2}i\in\{1,2\}v=|Vi|v=|Vi|v=|V_i| Babaiは実際には表示されなかったかの要素を見つけるために、その並べ替えるの頂点G 1とG 2、またはである証明書だけで存在文?π∈Svπ∈Sv\pi\in S_vG1G1G_1G2G2G_2 オラクルがとG 2が同型であることを教えてくれた場合、すべてのvを調べる必要がありますか?頂点の順列?G1G1G_1G2G2G_2v!v!v! 結び目の等価性についても考えているので、私は尋ねます。私が知る限り、それが知られているわけではありませんが、 uncnotを検出したと言います。実際に、結び目をほどくReidemeisterの動きのシーケンスを見つけるには、指数関数的な時間がかかる可能性があります...PP\mathsf{P}

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順列関連の問題の複雑さ
の順列のグループと、2つのベクトルが与えられた、はここではあまり関係のない有限アルファベットです。は、ようなが存在するかどうかです。ここで、は、期待される方法でuに置換πを適用することを意味します。[ N ] = { 1 、⋯ 、N } U 、V ∈ Γ N Γ π ∈ G π (U )= V族π (U )GGG[n]={1,⋯,n}[n]={1,⋯,n}[n]=\{1, \cdots, n\}u,v∈Γnu,v∈Γnu,v\in \Gamma^nΓΓ\Gammaπ∈Gπ∈G\pi\in Gπ(u)=vπ(u)=v\pi(u)=vπ(u)π(u)\pi(u)ππ\piuuu さらに、が生成器の有限集合Sによって入力として与えられると仮定します。問題の複雑さは何ですか?特に、NPにありますか?GGGSSS

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非対称グラフの同型性のテスト
ソリューションの一意性が見つけやすい質問例を読んでいると、新しい(簡単?)質問が思い浮かびました:実際には、グラフ同型()問題がかどうかわかりません。G IG私GIPPP しかし、と両方が非対称(つまり、どちらも自明な(同一性)自己同型のみである)と仮定するとなりますか?問題は簡単になりますか(多項式時間)? G1G1G_1G2G2G_2 注:グラフの自己同型()よりも問題を難しくすることはできません。これは、でを使用するだけで、答えが「はい」の場合、2つのグラフは同型ですJacoboTorán:PPのグラフ同型は低い( 401-411)。G AGAGAG AGAGAG1∪ G2G1∪G2G_1 \cup G_2

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