タグ付けされた質問 「graph-isomorphism」

Hを生成するGの頂点の再ラベル付けがある場合、2つのグラフG、Hは同型であり、逆も同様です。グラフ同型問題（GI）は、与えられた2つが同型かどうかを決定します。その実用的な関心に加えて、未知の複雑さを持っていると1972年にKarpによって識別され、NP中間問題の残りの数少ない自然候補の1つであり、複雑度クラスAMの作成につながりました。

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の
ポイント 2つのサイズセットがあるとします。回転のみが異なる場合のテストの（時間）複雑さは何ですか？：X = OYのような回転行列が存在しますか？X 、Y ⊂ R nはmmmX,Y⊂RnX,Y⊂RnX,Y\subset \mathbb{R}^nX = O YOOT=OTO=IOOT=OTO=IOO^T=O^TO=IX=OYX=OYX=OY ここで実際の値を表す問題があります-簡単にするために、基本的な算術演算のコストをO（1）として想定できるように、各座標に（短い）代数公式があると仮定します。 基本的な質問は、この問題がPにあるかどうかです。 一見するとこの問題は単純に見えるかもしれませんが、通常は点や角度のような局所関係のノルムをテストするのに十分ですが、例えばグラフ同型問題と同等の厄介な例があります。 具体的には、強正則グラフ（SRG）の隣接行列の固有空間を見て、幾何学的解釈を行うことができます。以下は最も単純な例です。2つの16頂点SRGは、ローカルに同一に見えますが、同型ではありません。 SRGの隣接行列は常に（既知の公式の）3つの固有値のみを持ちます-上記の固有値2（カーネル）の固有空間を見ると、次元6を持ちます-上記の基底。正規直交化（Gram-Schmidt）、可能な正規直交基底の大きな空間が得られます回転によって異なり、「垂直ベクトル」を回転します：長さ6の16ベクトルのセットをとして定義します、ここで、は2番目のグラフに対応しますとが回転のみで異なる場合、グラフ同型質問を質問に変換します。O （6 ）X ⊂ R 6 | X | = 16 Y X YA−2IA−2IA-2IO(6)O(6)O(6)X⊂R6X⊂R6X\subset \mathbb{R}^6|X|=16|X|=16|X|=16YYYXXXYYY 難点は、これらすべてのポイントが球体にあり、元の関係を再作成することです：すべての隣人（ここでは6）は90度未満の固定角度にあり、すべての非隣人（ここでは9）は90度以上の別の固定角度にあります上の写真。 そのため、ノルムとローカル角度に基づいたテストでは、グラフの同型問題に戻りますが、幾何学的解釈により、回転不変量などのグローバルプロパティを操作できます。 一般的に、自然な「グローバル」アプローチは、両方のセット「モジュロ回転」（自由度を含む）を記述し、両方の記述が同一であるかどうかを確認しようとします。n(n−1)/2n(n−1)/2n(n-1)/2 通常、回転不変式を定義できます-問題は、回転の侵略者の完全なセットを構築することです：モジュロ回転のセットを完全に決定します。 ポイント（？）に直接作用する実用的な回転不変式の方法を見つけることはできませんでしたが、多項式（stack）に対しては行うことができます。次数2の多項式場合、回転不変量の完全な基底は、たとえばです。図式彼らは、長さとして表すことができ、サイクル、我々は同様に構築することができるより高次の多項式のための回転不変量を、例えば、（残りの問題は、それらの独立である）程度1,2,3,4-多項式の単一の回転不変量に対応する以下の各グラフ：T r （A k）k = 1 、… 、n kxTAxxTAxx^T A xTr(Ak)Tr(Ak)Tr(A^k)k=1,…,nk=1,…,nk=1,\ldots,nkkk 問題は、多項式でポイントのセットを記述する方法です。一般に、高次多項式、たとえばが必要ですが、SRGのセットはかなりregular-次数6の多項式でのみ記述できます：p(z)=∏x∈X(x⋅(z−x))p(z)=∏x∈X(x⋅(z−x))p(z)=\prod_{x\in X} (x\cdot (z-x)) …
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2つの非同型グラフ
私は非常に具体的になりたいです。誰もが以下の命題の反論または証拠を知っていますか： ∃p∈Z[x],n,k,C∈N,∃p∈Z[x],n,k,C∈N,\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N}, ∀G,H∈STRUC[Σgraph](min(|G|,|H|)=n,G≄H),∀G,H∈STRUC[Σgraph](min(|G|,|H|)=n,G≄H),\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H), ∃φ∈L(Σgraph),∃φ∈L(Σgraph),\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}), |φ|≤p(n)∧qd(φ)≤Clog(n)k∧G⊨φ∧H⊭φ.|φ|≤p(n)∧qd(φ)≤Clog(n)k∧G⊨φ∧H⊭φ.|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi. 直観的には、「 local」ステートメントを使用してすべての非同型グラフを区別できる場合、これは正しいはずです。これは間違っていると思います。もちろん、同乗を法とするグラフを指定するだけでよいため、多項式の量指定子の深さを使用してグラフを区別できます。Clog(n)kClog(n)kClog(n)^k φ=∃x1∃x2∃x3...∃xn(∀x(⋁i∈VGx=xi)∧(⋀(i,j)∈EGE(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∉EG¬E(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∈V2G∣i≠jxi≠xj).φ=∃x1∃x2∃x3...∃xn(∀x(⋁i∈VGx=xi)∧(⋀(i,j)∈EGE(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∉EG¬E(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∈VG2∣i≠jxi≠xj).\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists …
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Cai-Furer-Immermanガジェットの自己同型
Weisfeiler-Lehman（WL）法によるグラフ同型の有名な反例では、この論文でCai、Furer、Immerman が次のガジェットを作成しました。彼らは、グラフ構築によって与えられるがX k = （V k、E k）Xk=(Vk,Ek)X_k = (V_k, E_k) VのK = K ∪ BのK ∪ M K どこ K = { I | 1 ≤ I ≤ K } 、BのK = { B I | 1 ≤ I ≤ K } 、 及び Mk={mS∣S⊆{1,2,…,k}, |S| is even}Ek={(mS,ai)∣i∈S}∪{(mS,bi)∣i∉S}Vk=Ak∪Bk∪Mk where Ak={ai∣1≤i≤k},Bk={bi∣1≤i≤k}, …
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グラフ同型（GI）問題に対する同一粒子アプローチの負の結果
ハードコアボソンの量子ランダムウォーク（対称だが二重占有ではない）を使用して、グラフ同型問題を攻撃するための努力がいくつか行われました。有望と思われる隣接行列の対称性は、Amir Rahnamai BarghiとIlya Ponomarenkoによって、この論文の一般的なグラフでは不完全であることが証明されました。この論文では、他の同様のアプローチも ジェイミー・スミスによって反論されました。これらの論文の両方で、彼らはコヒーレントな構成（スキーム）とセルラー代数の代替だが同等の定式化（有限集合-ここで頂点集合-点ごとの乗算、複素共役転置で閉じられ、含む単位行列Iおよびオールワン行列J）それぞれ必要なカウンター引数を提供します。 それらの議論に従うことは非常に困難であり、個々の議論に漠然と従ったとしても、私は核となる考えを理解していません。スキーム理論やセルラー代数の言語を使用せずに、議論の本質を一般的な用語で説明できるかどうかを知りたいと思います。
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グラフ同型完全問題について
グラフ同型（GI）完全問題の研究に興味があります。 Kellogg S. Booth（1979）の論文「グラフ同型に多項式多分に等しい問題」で、多くの基本的な問題がエッジ置換技術、合成技術などを使用してGI完全であることを証明しました。 最近の論文で使用されているテクニックをいくつか学びたいと思います。 あるグラフクラスがGI完全であることを証明することに集中している最近の論文をいくつか教えてください。
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グラフ一致問題の履歴とステータス
この問題についてさらに調べることの難しさの一部は、グラフのマッチングの問題が、はるかに有名ないとこであるマッチングの問題とは異なるが、検索エンジンを使用する場合、それと区別するのが難しいことです。 ような2つのグラフG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)および、タスクは、全単射を見つけることです。この全単射により、とエッジ間で可能な限り多くの対応が確立されます。G′=(V′,E′)G′=(V′,E′)G'=(V',E')π ：V → V ′ G G ′|V|=|V′||V|=|V′||V| = |V'|π:V→V′π:V→V′\pi : V \rightarrow V'GGGG′G′G' 言い換えると、とが隣接行列の場合、最大化する必要があります。M ′MMMM′M′M' ∑v,w∈VMv,w⋅M′π(v),π(w)∑v,w∈VMv,w⋅Mπ(v),π(w)′\sum_{v,w \in V} M_{v,w} \cdot M'_{\pi(v),\pi(w)} この問題には、グラフの同型が特殊なケースとして明確に含まれており、（非多項式！）削減のもとで2部一致に減らすことができます。 どんな種類のアルゴリズムが存在し、その複雑さについて何が知られていますか？
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計算問題の冗長性と構造
グラフ同型などの一部の計算問題は、計算が困難（NP-hard）になるほど十分な構造または冗長性を持たないため、NP完全にはなり得ないと広く考えられています。私は、計算問題の構造と冗長性の尺度についてのさまざまな形式的な概念に興味があります。 計算問題のそのような形式的な概念について知られている主要な結果は何ですか？このような概念の最近の調査は非常にいいでしょう。 編集：MathOverflowに投稿
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正則グラフと同型
私はそれについて既に公開された結果があるかどうか尋ねたいと思います： 2つの接続された通常の（たとえば、次数、ノード）グラフのノードの各ペア間で考えられるすべての異なるパスを取り、その長さを書き留めます。もちろん、この個別パスの数は指数関数的です。私の質問は、長さを並べ替えて比較し（2つのグラフによって取得されたリスト）、それらがまったく同じである場合、2つのグラフは同型であると言えますか？ndddnnn もちろん、これが結果であっても、グラフの同型の応答に使用することはできません。なぜなら、個別のパスの数は指数関数的であるためです。 異なるパス、私は明らかに、少なくとも一つの別のノードを有する経路を指します。 あなたの助けをアプリオリに感謝します。
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同様のグラフクエリに対する効率的なグラフ同型
グラフG1、G2、およびG3を前提として、G1とG2、およびG1とG3の間の同型検定Fを実行します。G2とG3が非常に類似していて、G3が1つのノードを削除して1つのノードをG2から挿入することによって形成され、F（G1、G2）の結果がある場合、最初から計算せずにF（G1、G3）を計算できます。既存の最先端の方法を拡張することによって？ たとえば、G2がノード2、3、4、5で形成され、G3がノード3、4、5、6で形成される場合、F（G1、G2）の結果を使用してF（G1、 G3）より効率的ですか？
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Dharwadker-Tevetグラフ同型アルゴリズムの反例を知っている人はいますか？
でhttp://www.dharwadker.org/tevet/isomorphism/、二つのグラフは同型であるかどうかを決定するためのアルゴリズムの提示があります。A Dharwadkerによる "興味深い"主張がいくつかあることを考えると、私はそれを信じる気はありません。 私の調査では、アルゴリズムが間違いなく正しい答えを生成し、2つのグラフが実際には正しかったのに同型ではないことがわかりました。ただし、2つのグラフが実際に同型であるかどうかをアルゴリズムが一貫して通知するかどうかは明確ではありません。彼らの結果の「証拠」は、望ましいものを残します。 しかし、私は反例を知りません。アルゴリズムをテストするためのソフトウェアを書き始める前に、反例を誰かがすでに知っているかどうかを確認したいと思いました。 誰かがアルゴリズムの概要を要求しました。私はここでできることをしますが、それを本当に理解するには、http://www.dharwadker.org/tevet/isomorphism/にアクセスする必要があります。 アルゴリズムには2つのフェーズがあります。「署名」フェーズとソートフェーズです。最初の「署名」フェーズ（これは私のプロセスの用語です。「署名マトリックス」の生成と呼びます）は、頂点をさまざまな等価クラスに効率的にソートします。第2フェーズでは、最初に、等価クラスに従って頂点を順序付け、次に、等価クラス内でソート手順を適用して、2つのグラフ間の同型を確立します。興味深いことに、彼らはグラフの標準的な形式を確立することを主張していません-代わりに、1つのグラフが2番目の一種のテンプレートとして使用されます。 署名フェーズは実際には非常に興味深いものです。言い換えれば、ここでは正直に言うつもりはありません。詳細が必要な場合は、リンクをたどって彼の署名フェーズを確認することをお勧めします。生成された「符号行列」は、元のグラフに関するすべての情報を確実に保持し、もう少し情報を確立します。署名には元の行列に関する情報全体が含まれているため、署名を収集した後、元の行列は無視されます。署名は、頂点に関連する各エッジに適用される操作を実行し、頂点の要素のマルチセットを収集して、頂点の等価クラスを確立すると言うだけで十分です。 2番目のフェーズ（並べ替えフェーズ）は、疑わしい部分です。特に、それらのプロセスが機能した場合、Anna Lubiwが "行列の二重字句順序付け"を提供するために開発したアルゴリズム（http://dl.acm.org/citation.cfm?id=22189を参照）が期待されます。グラフの標準形を定義するためにも機能します。 公平を期すために、私は彼らの分類プロセスを完全には理解していませんが、彼らはそれを説明する合理的な仕事をしていると思います。（私はすべての詳細に取り組んだだけではありません）。つまり、何かが足りないのかもしれません。ただし、このプロセスが誤って同型を見つける以上のことができる方法は不明です。確かに、彼らはおそらくそれを高い確率で見つけますが、保証はありません。2つのグラフが同型でない場合、ソートプロセスはそれを見つけることができず、プロセスはグラフを正しく拒否します。
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多項式GIが多項式（エッジ）カラーGIを意味する場合
MOからのクロスポスト。 （エッジ）色付きグラフ同型はGIであり、（エッジ色の場合はエッジの）色を保持します。 （エッジ）カラーGIからGIへの変換/ガジェットを使用したいくつかの削減があります。エッジカラーGIの場合、最も簡単なのは、カラーエッジを色をエンコードするGI保存ガジェットで置き換えることです（エッジを十分に細分するのが最も簡単なケースです）。頂点カラーのGIの場合、ガジェットを頂点にアタッチします。 いくつかのグラフクラス GIが多項式であるとします。CCC Q1多項式GIは、多項式（エッジ）カラーGIを意味しますか？CCC ガジェットでリダクションを使用すると、グラフがメンバーではなくなる可能性があります。CCC 一方、特定のガジェット/変換によって、グラフが他の多項式GIクラスのメンバーになる場合があります。 エッジ色の削減の例。G→G′G→G′ G \to G' クリークを作成します。エッジを 、非エッジを色分けし。これは、保存さ着色機能である回復するとからだけ色の縁取り。はクリーク、コグラフ、順列グラフであり、他の多くの素晴らしいクラスではほぼ確実です。エッジを奇数回再分割します（は明確ではあり、色が削除され、 完全な2部グラフになり、同型が維持されます）。V(G)V(G)V(G)E(G)E(G)E(G)111000GGGGGGG′G′G'111G′G′G'0,10,10,1G′G′G' 多分別のアプローチは、折れ線グラフを取り、対応する頂点に接続されたペンダント（ユニバーサル）頂点を追加することです。G′G′G'E(G′)E(G′)E(G') Q2同様の構造に適したガジェット/変換はありますか？ クリークの普遍的な描画を選択し、エッジ交差を色を維持する平面ガジェットで置き換えることにより、平面化することについて考えたところ、同じ色の場合は、別の色の場合は何かと言います。これが同型を維持するかどうかはわかりません。G′G′G'C4,C6C4,C6C_4,C_6 もう1つの可能なアプローチは、カラーを保持する自己同型またはすべてのエッジを細分割する 、頂点 3色を使用することですKnKnK_n0,1,20,1,2{0,1,2}V(G),E(G),E(G¯¯¯¯)V(G),E(G),E(G¯)V(G),E(G),E(\overline{G}) 自己を認識しようとする可能性があります。交換同型によって相補グラフ及びE （¯ Gを）。E(G)E(G)E(G)E(G¯¯¯¯)E(G¯)E(\overline{G}) Q3 のサブディビジョンの自己同型性グループは 計算するのが扱いやすいですか？KnKnK_n 注文数初期用語である後 であるA05256512,24,120,720,5040,40320,36288012,24,120,720,5040,40320,36288012 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880 Dimaは、これはが十分に大きい場合は簡単で、最初の項は例外であることを示唆しています。nnn Q4が与えられる頂点の分割着色ためN > 4高い頂点が着色されており、その自己同型群0を、ある程度2が ある1、他方はであり2、交換同型見つける複雑ものであり、1および2？KnKnK_nn>4n>4n > 4000222111222111222 Cayley Graphs …
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グラフ同型がUPである
でグラフ同型（決定問題）である？ここでU Pは、明確なチューリングマシンによって受け入れられる決定問題のクラスです（複雑さzooを参照）。U P ∩ C O U PUP∩coUP\mathsf{UP}\cap \mathsf{coUP}U PUP\mathsf{UP}
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