多項式GIが多項式（エッジ）カラーGIを意味する場合

MOからのクロスポスト。

（エッジ）色付きグラフ同型はGIであり、（エッジ色の場合はエッジの）色を保持します。

（エッジ）カラーGIからGIへの変換/ガジェットを使用したいくつかの削減があります。エッジカラーGIの場合、最も簡単なのは、カラーエッジを色をエンコードするGI保存ガジェットで置き換えることです（エッジを十分に細分するのが最も簡単なケースです）。頂点カラーのGIの場合、ガジェットを頂点にアタッチします。

いくつかのグラフクラス GIが多項式であるとします。$C$

Q1多項式GIは、多項式（エッジ）カラーGIを意味しますか？$C$

ガジェットでリダクションを使用すると、グラフがメンバーではなくなる可能性があります。$C$

一方、特定のガジェット/変換によって、グラフが他の多項式GIクラスのメンバーになる場合があります。

エッジ色の削減の例。$G \to G'$

クリークを作成します。エッジを 、非エッジを色分けし。これは、保存さ着色機能である回復するとからだけ色の縁取り。はクリーク、コグラフ、順列グラフであり、他の多くの素晴らしいクラスではほぼ確実です。エッジを奇数回再分割します（は明確ではあり、色が削除され、 完全な2部グラフになり、同型が維持されます）。$V(G)$$E(G)$$1$$0$$G$$G$$G'$$1$$G'$$0,1$$G'$

多分別のアプローチは、折れ線グラフを取り、対応する頂点に接続されたペンダント（ユニバーサル）頂点を追加することです。$G'$$E(G')$

Q2同様の構造に適したガジェット/変換はありますか？

クリークの普遍的な描画を選択し、エッジ交差を色を維持する平面ガジェットで置き換えることにより、平面化することについて考えたところ、同じ色の場合は、別の色の場合は何かと言います。これが同型を維持するかどうかはわかりません。$G'$$C_4,C_6$

もう1つの可能なアプローチは、カラーを保持する自己同型またはすべてのエッジを細分割する 、頂点 3色を使用することです$K_n$${0,1,2}$$V(G),E(G),E(\overline{G})$ 自己を認識しようとする可能性があります。交換同型によって相補グラフ及びE （¯ Gを）。$E(G)$$E(\overline{G})$

Q3 のサブディビジョンの自己同型性グループは 計算するのが扱いやすいですか？$K_n$

注文数初期用語である後 であるA052565$12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

Dimaは、これはが十分に大きい場合は簡単で、最初の項は例外であることを示唆しています。$n$

Q4が与えられる頂点の分割着色ためN > 4高い頂点が着色されており、その自己同型群0を、ある程度2が ある1、他方はであり2、交換同型見つける複雑ものであり、1および2？$K_n$$n > 4$$0$$2$$1$$2$$1$$2$

Cayley Graphs p 86の認識に関する論文が追加されました：

ケイリーグラフのクラスC、およびn個の頂点とm個のエッジのエッジ色のグラフGが与えられた場合、Gがφによってグラフに同型であるように色を保存する同型φが存在するかどうかを確認する問題に興味があります。 Cでは、生成セットの要素によって色分けされています。この論文では、GがCayleyグラフに対して同型であるかどうかをチェックするO（m log n）時間アルゴリズムを提供します。

これは質問の近くに表示されますが、関連がありますか？

Q2：良い例は、それを証明するために使用されるグラフラベル付けガジェットです。

定理：平面3に接続された着色GI 平面3に接続されたGI$\leq_T^L$

Thomas Thierauf、Fabian Wagnerを参照してください：平面3連結グラフの同型問題は明確なログ空間にあります。理論計算。システム。47（3）：655-673（2010）

使用される「ラベル付けガジェット」は、3つの接続性と平面性の制約を保持します。

部分的な答え、十分なグループ理論を理解していないが、2つの論文が部分的な結果を与えるように見える。

$G \to G'$

$V(G)$$e \in E(G')$$1$$e \in E(G)$$0$$G$$G'$$1$

$G \cong H \iff G' \cong H'$

$G'$

このペーパーは主張します：

$O(n^2 (\log n)^6 )$$n$

「エッジカラー」の正確な定義は私には明確ではありません。

循環GIを証明する論文は、p.1の脚注の多項式であると主張しています。

グラフとは、通常のグラフ、有向グラフ、またはエッジ色のグラフを意味します

着色の制限は何ですかMOに尋ねました。