同様のグラフクエリに対する効率的なグラフ同型

グラフG1、G2、およびG3を前提として、G1とG2、およびG1とG3の間の同型検定Fを実行します。G2とG3が非常に類似していて、G3が1つのノードを削除して1つのノードをG2から挿入することによって形成され、F（G1、G2）の結果がある場合、最初から計算せずにF（G1、G3）を計算できます。既存の最先端の方法を拡張することによって？

たとえば、G2がノード2、3、4、5で形成され、G3がノード3、4、5、6で形成される場合、F（G1、G2）の結果を使用してF（G1、 G3）より効率的ですか？

graph-theory graph-algorithms graph-isomorphism

— エリック・ファン
ソース

現時点では議論はありません。しかし、私の直感は、あなたの問題は復興の推測（en.wikipedia.org/wiki/Reconstruction_conjecture）と道徳的に関連しているということです。

— Yixin Cao

これが問題であることを示すために、簡単な多項式時間の短縮であるGI完全：あなたがいることを知っていてもあればチェックし、同型で、から構築削除し、ノードを追加する、と同型であるグラフ同型ほどのハードされますそれ自体（最悪の場合）。 $G_1, G_2$ $G_3$ $G_2$ $G_1$

2つのグラフ作成 $G = (V, E), G'= (V', E')$

$G_1 = ( V \cup V' \cup \{u\},\; E \cup E' \cup \{ (v_i,u) \mid v_i \in V \})$

つまり、2つのグラフの和と、すべての頂点に接続された追加のノード $u$ $V$

選ぶ。そして明らかにそれらは同型である。 $G_2 = G_1$

ここで、構築して、を削除し、すべての頂点に接続されたを追加します。 $G_3$ $u$ $u'$ $V'$

$G_3 = ( V \cup V' \cup \{u'\},\; E \cup E' \cup \{ (v_i',u') \mid v_i' \in V'\} )$

$G_1, G_3$ は同型では同型です。 $G, G'$

— マルツィオデビアシ
ソース

これは素晴らしい削減です！ただし、GIの完全性だけでは必ずしも利点がないとは限らず、最悪の場合、それらの複雑性が多項的に関連しているということだけを付け加えておきます。別の例として、頂点カラーのGIもGI完全ですが、私が知っているほとんどのアルゴリズムは、頂点カラーを有効に活用できます。

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow：ありがとう、その点を明確にした。

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi：説明ありがとうございます。あなたの説明についての私の理解に基づいて、uとu 'に接続されている頂点が異なる場合（必ずしもVのすべての頂点に接続されているとは限りません）、またはV '）GとG'が同型であることを知っていても。あれは正しいですか？この場合、この問題はグラフ同型自体と同じくらい難しいですか？

— Eric Huang

@EricHuang：還元は、2つの同型のグラフに与えられたと言う、ビルドへの明示的な方法 1つのノード（およびいくつかのエッジ）を加える/削除することにより、かどうかをチェックするという問題同型であるが、グラフ同型ハード通りであります。ところで、この結果は、を構築する明示的な方法が与えられていない関連するプロミス問題にも拡張されますが、がノードの削除/追加操作まで同型であるというプロミスのみです。

G_{1}, G_{2}

$G_1, G_2$

G_{3}

$G_3$

G_{2}

$G_2$

G_{1}, G_{3}

$G_1, G_3$

G_{3}

$G_3$

G_{1}, G_{3}

$G_1,G_3$

— Marzio De Biasi

Weisfeiler-Lehman法またはそのバリエーションを試すことができます。特に、元のグラフが平面、ツリー、区間グラフ、または有界ツリー幅グラフのような構造を持っている場合、微調整ステップでは、Weisfeiler-Lehman次元は小さな定数です。 2つのグラフ間の関係を利用します。

— Rupei Xu