の

ポイント 2つのサイズセットがあるとします。回転のみが異なる場合のテストの（時間）複雑さは何ですか？：ような回転行列が存在しますか？ $m$ $X,Y\subset \mathbb{R}^n$ $OO^T=O^TO=I$ $X=OY$

ここで実際の値を表す問題があります-簡単にするために、基本的な算術演算のコストをO（1）として想定できるように、各座標に（短い）代数公式があると仮定します。

基本的な質問は、この問題がPにあるかどうかです。

一見するとこの問題は単純に見えるかもしれませんが、通常は点や角度のような局所関係のノルムをテストするのに十分ですが、例えばグラフ同型問題と同等の厄介な例があります。

具体的には、強正則グラフ（SRG）の隣接行列の固有空間を見て、幾何学的解釈を行うことができます。以下は最も単純な例です。2つの16頂点SRGは、ローカルに同一に見えますが、同型ではありません。

SRGの隣接行列は常に（既知の公式の）3つの固有値のみを持ちます-上記の固有値2（カーネル）の固有空間を見ると、次元6を持ちます-上記の基底。正規直交化（Gram-Schmidt）、可能な正規直交基底の大きな空間が得られます回転によって異なり、「垂直ベクトル」を回転します：長さ6の16ベクトルのセットをとして定義します、ここで、は2番目のグラフに対応しますとが回転のみで異なる場合、グラフ同型質問を質問に変換します。 $A-2I$ $O(6)$ $X\subset \mathbb{R}^6$ $|X|=16$ $Y$ $X$ $Y$

難点は、これらすべてのポイントが球体にあり、元の関係を再作成することです：すべての隣人（ここでは6）は90度未満の固定角度にあり、すべての非隣人（ここでは9）は90度以上の別の固定角度にあります上の写真。

そのため、ノルムとローカル角度に基づいたテストでは、グラフの同型問題に戻りますが、幾何学的解釈により、回転不変量などのグローバルプロパティを操作できます。

一般的に、自然な「グローバル」アプローチは、両方のセット「モジュロ回転」（自由度を含む）を記述し、両方の記述が同一であるかどうかを確認しようとします。 $n(n-1)/2$

通常、回転不変式を定義できます-問題は、回転の侵略者の完全なセットを構築することです：モジュロ回転のセットを完全に決定します。

ポイント（？）に直接作用する実用的な回転不変式の方法を見つけることはできませんでしたが、多項式（stack）に対しては行うことができます。次数2の多項式場合、回転不変量の完全な基底は、たとえばです。図式彼らは、長さとして表すことができ、サイクル、我々は同様に構築することができるより高次の多項式のための回転不変量を、例えば、（残りの問題は、それらの独立である）程度1,2,3,4-多項式の単一の回転不変量に対応する以下の各グラフ： $x^T A x$ $Tr(A^k)$ $k=1,\ldots,n$ $k$

問題は、多項式でポイントのセットを記述する方法です。一般に、高次多項式、たとえばが必要ですが、SRGのセットはかなりregular-次数6の多項式でのみ記述できます： $p(z)=\prod_{x\in X} (x\cdot (z-x))$

p (z) = \sum_{x \in X} (x \cdot z - a)^{2} (x \cdot z - b)^{2} (x \cdot z - c)^{2}

$p(z)=\sum_{x\in X} (x\cdot z -a)^2 (x\cdot z -b)^2 (x\cdot z -c)^2$ ここは記述します与えられたSRGで得られたセットのノルムと角度（既知）。

a, b, c

$a,b,c$

それで、2次6多項式が多項式時間の回転だけで異なるかどうかをテストできますか？その場合、SRGのグラフ同型はPにあります。

SRGよりも厳しい例がありますか（2つのセットがローテーションのみで異なる場合のテスト用）？私はそれを疑って、ババイのおかげで準多項式の上限を考慮しています（？）

更新：（解決された）直交Procrustes問題との類似性が指摘されました：

min_{O : O^{T} O = I} ‖ O A - B ‖_{F} achieved for O = U V^{T}, where B A^{T} = U D V^{T}

$\min_{O:O^TO=I} \|OA-B\|_F \quad\textrm{achieved for}\quad O=UV^T,\quad\textrm{ where}\quad BA^T=UDV^T$

特異値分解から。これらの行列をポイントから構築できますが、順序を知る必要があります-順序がわからず、があります可能性。 $m!$

モンテカルロや遺伝的アルゴリズムなどを試すことができます：いくつかの点を切り替え、上記の式を使用して距離の改善をテストしますが、このようなヒューリスティックアルゴリズムは指数関数的な極小値（？）

— ジャレック・デュダ
ソース

さて、実用的なグラフ同型アルゴリズムのキラーな例は、必ずしもSRGではありません。ここで説明したDaniel NeuenとPascal Schweitzerの2つの論文があり、現在最も厳しい例を示しています。私の議論では、「マルチペッド構造は、基本的には無向のマルチエッジハイパーグラフに適用される通常のCFI構造です」と主張しています。この構造はさらに修正され、すべての自己同型性が削除され、剛性が高まります。以前はSRGではありませんでしたが、その後は間違いなくSRGではなくなります。

— トーマスクリンペル

PCA変換にはいくつかの非常に優れたプロパティがあるため、ポイントセットの主成分を見つけてチェックすると役立つと思います。

— FazeL

ThomasKlimpel、これらの他の厳しい例の固有空間について何か言えますか？@ FazeL、PCAからの相関行列の固有値は回転不変量の例です-回転のみによって異なるための必要条件（SRGにとって自明です）。問題は、例えば、回転不変条件の完全な基底を介して十分な条件を取得することです-集合（または多項式）モジュロ回転を完全に決定します。多項式の一般的な構成は次のとおりです：arxiv.org/pdf/1801.01058、問題は独立した不変式の十分な数（既知）を選択する方法ですか？

— ジャレックデュダ

これらのグラフはすでに色付けされています。固定

場合、

ノードがその色を持つ色と、2ノードがその色を持つ色があります。固有空間の面では、この手段は、ディメンションの多くの固有空間を取得

、および次元のさらに多くの固有空間

。少なくともそれは、CFI構造がk-regular無向グラフに適用される場合に起こることです。（ただし、SRGの同型性も未解決の問題です。）

k

$k$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2

$2$

— トーマスクリンペル

次元

の固有空間は実際にはさらに小さな固有空間に分離する可能性があります。これは、SRGでも1つ以上の固有空間があるためですが、上記のロジックは単一の固有空間があることを示唆しています。短い（より理論的な）論文の図4.2をご覧ください。これらのグラフがどのように見えるかを理解してください。

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

— トーマスクリンペル

これは開いていると思います。回転の下で等価性をテストする代わりに、一般線形グループの下で等価性を要求する場合、3次多項式の等価性を既にテストするのはGI-hard（Agrawal-Saxena STACS '06、著者の自由に利用可能なバージョン）であり、実際には少なくとも代数の同型をテストするのと同じくらい難しい。さて、GI-hardnessはあなたの問題がにないという証拠ではありません。実際、あなたの質問全体は本質的にGIを入れることができるかどうかです $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ あなたが提案するアプローチによって。ただし、キュービック形式の等価性はすでにGIよりもかなり難しいようです（たとえば、代数同型がGIとは異なり、準ポリタイムにあるかどうかはまだわかりません）は、（a）人々がこのアプローチを考え、（b）まだ開いています。

同様の結果が直交グループに当てはまるかどうかはわかりませんが、当てはまらない場合（特に3度から6度に移動する場合）には驚きます。

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

ありがとう、私はたくさん読むことがあります。多項式の回転によって異なるテストも、次数3では困難になりましたか？係数の数はO（dim ^ degree）であり、回転にはdim（dim-1）/ 2係数があるため、モジュロ回転はO（dim ^ degree）に依存しない回転不変量によって完全に記述される必要があります。回転不変式（arxiv.org/pdf/1801.01058）の構築方法を知っています。独立性条件を証明するのは難しいようですが、高い依存性はありそうもないようです（？）

— Jarek Duda

@JarekDuda：コメントであなたがする同じ議論は、

(\binom{d i m}{2})

$\binom{dim}{2}$

d i m^{2}

$dim^2$

Θ (d i m^{2})

$\Theta(dim^2)$

確かに、多数の不変式のみを構築できる場合-他の同値型に当てはまるかどうかはわかりませんが（？）、回転不変式には、すべてのグラフが1つの不変式を与える構造があり、体系的な構造がありますたとえば、次数2の多項式x ^ T AxのTr（A ^ k）不変の長さkサイクルグラフに類似した大きな数。固定次数の多項式では、ポリタイムで十分な数（またはそれ以上）の不変量を生成できます-残りの問題は、それらの間で十分な数の独立した不変量を確保することです。

— ジャレックデュダ