Dharwadker-Tevetグラフ同型アルゴリズムの反例を知っている人はいますか？

でhttp://www.dharwadker.org/tevet/isomorphism/、二つのグラフは同型であるかどうかを決定するためのアルゴリズムの提示があります。A Dharwadkerによる "興味深い"主張がいくつかあることを考えると、私はそれを信じる気はありません。

私の調査では、アルゴリズムが間違いなく正しい答えを生成し、2つのグラフが実際には正しかったのに同型ではないことがわかりました。ただし、2つのグラフが実際に同型であるかどうかをアルゴリズムが一貫して通知するかどうかは明確ではありません。彼らの結果の「証拠」は、望ましいものを残します。

しかし、私は反例を知りません。アルゴリズムをテストするためのソフトウェアを書き始める前に、反例を誰かがすでに知っているかどうかを確認したいと思いました。

誰かがアルゴリズムの概要を要求しました。私はここでできることをしますが、それを本当に理解するには、http://www.dharwadker.org/tevet/isomorphism/にアクセスする必要があります。

アルゴリズムには2つのフェーズがあります。「署名」フェーズとソートフェーズです。最初の「署名」フェーズ（これは私のプロセスの用語です。「署名マトリックス」の生成と呼びます）は、頂点をさまざまな等価クラスに効率的にソートします。第2フェーズでは、最初に、等価クラスに従って頂点を順序付け、次に、等価クラス内でソート手順を適用して、2つのグラフ間の同型を確立します。興味深いことに、彼らはグラフの標準的な形式を確立することを主張していません-代わりに、1つのグラフが2番目の一種のテンプレートとして使用されます。

署名フェーズは実際には非常に興味深いものです。言い換えれば、ここでは正直に言うつもりはありません。詳細が必要な場合は、リンクをたどって彼の署名フェーズを確認することをお勧めします。生成された「符号行列」は、元のグラフに関するすべての情報を確実に保持し、もう少し情報を確立します。署名には元の行列に関する情報全体が含まれているため、署名を収集した後、元の行列は無視されます。署名は、頂点に関連する各エッジに適用される操作を実行し、頂点の要素のマルチセットを収集して、頂点の等価クラスを確立すると言うだけで十分です。

2番目のフェーズ（並べ替えフェーズ）は、疑わしい部分です。特に、それらのプロセスが機能した場合、Anna Lubiwが "行列の二重字句順序付け"を提供するために開発したアルゴリズム（http://dl.acm.org/citation.cfm?id=22189を参照）が期待されます。グラフの標準形を定義するためにも機能します。

公平を期すために、私は彼らの分類プロセスを完全には理解していませんが、彼らはそれを説明する合理的な仕事をしていると思います。（私はすべての詳細に取り組んだだけではありません）。つまり、何かが足りないのかもしれません。ただし、このプロセスが誤って同型を見つける以上のことができる方法は不明です。確かに、彼らはおそらくそれを高い確率で見つけますが、保証はありません。2つのグラフが同型でない場合、ソートプロセスはそれを見つけることができず、プロセスはグラフを正しく拒否します。

の場合graphA.txt：

25
 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0
 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0
 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1
 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1
 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0
 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1
 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0
 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0
 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1
 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1
 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0
 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1
 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1
 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0
 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0
 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0
 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1
 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0

とgraphB.txt：

25
 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0
 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1
 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0
 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0
 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1
 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0
 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1
 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1
 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1
 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0
 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1
 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0
 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0
 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1
 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0
 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0
 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1
 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1
 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1
 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0
 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0

graphA.txt（ランダム）順列を適用することにより得られます

 22 9 24 11 15 8 5 18 13 14 2 10 23 0 3 17 4 16 6 19 7 21 12 1 20

C ++プログラムisororphism.cppから図6.3。 グラフ同型アルゴリズムのA C ++プログラムでのhttp://www.dharwadker.org/tevet/isomorphism/は、次のような出力を提供します。

The Graph Isomorphism Algorithm
by Ashay Dharwadker and John-Tagore Tevet
http://www.dharwadker.org/tevet/isomorphism/
Copyright (c) 2009
Computing the Sign Matrix of Graph A...
Computing the Sign Matrix of Graph B...
Graph A and Graph B have the same sign frequency vectors in lexicographic order but cannot be isomorphic.
See result.txt for details.

したがって、これはDharwadker-Tevetグラフ同型アルゴリズムの反例と考えることができます。

ビル州が示唆するように、問題は

4.1。命題。グラフおよびが同型である場合、アルゴリズムは同型を検出します。G $G_A$$G_B$

ビル州の反対は、命題4.1の証明です。隣接行列にも適用されない符号行列の特別なプロパティを使用しません。より正確には、証明の次のステップは間違っています。

帰納法の仮定については、その行と仮定のと、そのようなことを完璧に手順3.4で一致したの行の頂点ラベルのあるの行のと頂点ラベルは、それぞれです。A B 1 、。。。、tはV 1、。。。、VのT 1 、。。。、t $1, ..., t$$A$$B$$1, ..., t$$A$$v_1, ..., v_t$$1, ..., t$$B$$φ(v_1) = v'_1, ..., φ(v_t) = v'_t$

行が完全に一致したとしても、頂点ラベルが任意の同型によって与えられたラベルと一致するとは限らないためです。$φ$

正当性の証明に穴が特定されたため、提案されたアルゴリズムの正当性の主張に反論するには、上記の反例で十分です。

謝辞 反例はからの8番目のグラフのペアの最初のものです

http://funkybee.narod.ru/graphs.htm

グラフを操作するために、次の場所にあるScrewBoxR1160.tarのソースコードを使用および変更しました

https://people.mpi-inf.mpg.de/~pascal/software/

正当性の証明の穴を理解するために、ワイスファイラーリーマンについてのアンドラスサラモンのコメントは、

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

この質問を航海/トレースとグラフ同型の実用的な側面に慣れる機会として使用する動機は、vznによって提供されました。最先端のプログラムをグラフ同型に使用する方法を学ぶ利点は、反例（私が存在すると強く信じていました）を見つけるために少し時間を費やすことを価値のあるものにしました。