正則グラフと同型

私はそれについて既に公開された結果があるかどうか尋ねたいと思います：

2つの接続された通常の（たとえば、次数、ノード）グラフのノードの各ペア間で考えられるすべての異なるパスを取り、その長さを書き留めます。もちろん、この個別パスの数は指数関数的です。私の質問は、長さを並べ替えて比較し（2つのグラフによって取得されたリスト）、それらがまったく同じである場合、2つのグラフは同型であると言えますか？ $d$ $n$

もちろん、これが結果であっても、グラフの同型の応答に使用することはできません。なぜなら、個別のパスの数は指数関数的であるためです。

異なるパス、私は明らかに、少なくとも一つの別のノードを有する経路を指します。

あなたの助けをアプリオリに感謝します。

— N27
ソース

2正則グラフはサイクルの互いに素な結合であるため、2正則グラフでは非常に少数の異なるパスがあります。したがって、頂点の各ペア間に2または0のパスがあります。

— ネイサンコーエン

この質問は興味深いですが、私にとってMathOverflowに適しているようです。

— ニールドボードラップ

回答:

同等の条件がGIの多項式時間解を意味するため、あなたの質問に対する答えは「いいえ」であると思います。

用、グラフの隣接行列、音符からのパスの数ことがにの長さのある（頂点と辺許容の繰り返しで）。2つのグラフおよび（隣接行列および）および、およびの要素をソートした場合、がに同型であるためには、次の条件が必要です。リストはすべてので同一です。 $A$ $G$ $i$ $j$ $k$ $(A^k)_{i, j}$ $G_1$ $G_2$ $A_1$ $A_2$ $k \ge 1$ $A_1^k$ $A_2^k$ $G_1$ $G_2$ $k$

あなたの推測は以下と同等だと思います：

要素のソートされたリスト場合とのために同一であるの（非反復頂点を有する最長経路には、UpperBound）をと同型です。 $A_1^k$ $A_2^d$ $k = 1$ $n - 1$ $G_1$ $G_2$

GIを解くには、行列の乗算を実行するだけです（要素を並べ替えて比較するために少し時間がかかります）。これは時間未満で済みます。 $n - 1$ $n \times n$ $n^2$ $n^4$

私の主張には2つの可能性のある欠陥があります。最初に、GIに多項式時間アルゴリズムがあり、ちょうど今一緒にそれを発見したことは完全に可能です（まあ、私たちは有名です！）。私はこれが非常にありそうにないと思います。第二に（そして、はるかに可能性が高い）、私が提案したことは実際にはあなたの推測と同等ではありません。

最終的な考え。たとえば、サイズ8程度の3正規グラフすべてでこれを試しましたか？あなたの推測が間違っている場合、かなり小さいサイズの3つの正規グラフに反例があるはずだと思います。

— ベジョット
ソース

長さkのiからjまでの個別のパスの数がことは知りませんでした。もしそうなら、あなたが何をしているかをよく理解していれば、私の最初の仮説が答えられます。

(A^{k})_{i, j}

$(A^{k})_{i,j}$

— N27

@ N27：行列の乗算と帰納法の定義を使用して証明できます。

— トメックタルチンスキ

はい、簡単に、実際には

— ...-N27

ああ、私の直感が再び私を迷わせたようです。グラフ内の個別の単純なパスの数（または2つのノード間のみ）のカウントは＃P-completeです。したがって、多項式時間アルゴリズムは単純なパスをカウントすることと同等であると言っているので、私の議論は間違っています。また、あなたの推測が正しいかどうかも完全にわかりません。ただし、GIよりも＃P-complete問題を解決することを選択する可能性は低いため、少し論点です。

— bbejot

あなたはパスの長さを比較しているだけであるので（そして、私があなたをよく理解していれば、それらがどのノードのペアに対応するかを忘れている間）、私は非常に類似したグラフが反例を提供するべきだと思います：最後にあなたは数えているだけです固定長で、リンクする頂点とは無関係のパスの数。たとえば、これらのグラフは反例だと思います：http : //www.mathe2.uni-bayreuth.de/markus/REGGRAPHS/GIF/06_3_3-2.gifおよびhttp://www.mathe2.uni-bayreuth.de/ markus / REGGRAPHS / GIF / 06_3_3-1.gif

間違っていなければ（パスのカウントは退屈です）、どちらにも長さ1のパス9個、長さ2のパス18個、長さ3のパス48個、長さ4のパス30個、長さ5のパス36個があります

— アルノー
ソース

最初のグラフでは長さ3のパスを36個、2番目のグラフでは長さ3のグラフを30個カウントしています。問題は、2番目のグラフには長さ3のサイクルがあり、最初のグラフにはないということです。ただし、反例として比較的小さなグラフを作成する必要があることに同意します。しかし、まだ見つけていません。

— -bbejot

私はあなたに同意します。すべての小さなグラフをテストするプログラムを書くと、おそらく簡単な答えが得られるでしょう。

— アルノー

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— trg787
ソース

これらすべてのグラフでlambda = mu

— trg787

最も単純な3つのペア（非同型）

— -trg787

それは何ですか？！！そして、少なくとも1つの異なるパスがあることをどのように知っていますか？

— -N27

すべてのノードペア間で可能なすべてのパスのリストが同一であることをどのように知っているのですか

— -N27

とにかく、申し訳ありませんが、私はあなたがテストしたことや言っていることを理解していません...私の質問は、ノードのすべてのペア間の異なるパスのすべての長さの2つのリストが2つの非同型グラフについて同じではないかどうかでした。

— N27