順列関連の問題の複雑さ

の順列のグループと、2つのベクトルが与えられた、はここではあまり関係のない有限アルファベットです。は、ようなが存在するかどうかです。ここで、は、期待される方法でに置換を適用することを意味します。 $G$ $[n]=\{1, \cdots, n\}$ $u,v\in \Gamma^n$ $\Gamma$ $\pi\in G$ $\pi(u)=v$ $\pi(u)$ $\pi$ $u$

さらに、が生成器の有限集合によって入力として与えられると仮定します。問題の複雑さは何ですか？特に、NPにありますか？ $G$ $S$

cc.complexity-theory graph-isomorphism permutations

— user27313
ソース

ジェネレーターの有限セットとはどういう意味ですか？入力ではどのように表されますか？

— RB 14

たとえば、2つのジェネレーター

、

は

と

によって生成されたグループです。

S_{1} = (12) (3)

$S_1=(1 2)(3)$

S_{2} = (13) (2)

$S_2=(1 3)(2)$

G

$G$

S_{1}

$S_1$

S_{2}

$S_2$

— maomao 14

一般に、この問題はNP困難です（おそらく、これは私が知らない参考文献で既に研究されているでしょう）。それでも、別のソリューションの問題（数独ゲームにも関連）に興味があるかもしれません

— ニコスM. 14

さらに、これは逆問題です（これは、MAXの方法でa-la Jaynesにアプローチできます）

— ニコスM. 14

問題は、NPが難しいかどうかではなく、NPにあるかどうかです。自明な上限はPSPACEのみです。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします14

回答:

ましょうここでにおける置換基であり、の要素が。かどうかを試験で行うことができる [1]で。ましょう、単に推測かどうかを、多項式時間で試験 $g_1, \ldots, g_k, g \in S_n$ $S_n$ $n$ $g \in \langle g_1, \ldots, g_k \rangle$ $\text{NC} \subseteq \text{P}$ $u, v \in \Gamma^n$ $g \in S_n$ $g \in G$ およびかどうか。これにより、上限が決まります。 $g(u) = v$ $\text{NP}$

この答えを補完するには：

グループメンバーシップは、（Furst et al。1980）に属し、次にアーベルグループの場合は（McKenzie＆Cook 1987; Mulmuley 1987）、無能グループの場合は（Luks＆McKenzie 1988）、可解グループ（Luks＆ McKenzie 1988）、非アーベル的構成要素の境界を持つグループ（Luks 1986）、最後にすべてのグループ（Babai et al。1987）。非周期モノイドのメンバーシップの同様の複雑さの分類は（Beaudry 1988; Beaudry et al。1992; Kozen 1977）、固定された非周期モノイドのメンバーシップは、、、またはいずれかで $\text{P}$ $\text{NC}^3$ $\text{NC}$ $\text{AC}^0$ $\text{P}$ $\text{NP}$ $\text{PSPACE}$ （およびそのクラスについては、ほとんど例外なく完了します）。

[1] L.ババイ、EMルクス＆A.セレス。NCの順列グループ。手続きコンピューティング理論に関する年次ACMシンポジウム、pp。409-420、1987 $19^\text{th}$

— マイケル・ブロンディン
ソース

私の答えは間違っていたので、それを削除しました（答えでNを示したサブグループは一般に正常ではありませんでした）。問題はPにある（おそらくNCにもある）と思いますが、今のところ証拠がありません。

— 伊藤剛14

あなたの答えが間違っている理由がわかりません。順列

実際に容易に構築することができ、グループは発電機のリストとして与えられ、その後、グループメンバーシップはBabai、ラックス＆Seress 87でNCにある

π

$\pi$

— マイケルBlondin

πの1つの選択肢は簡単に構築できますが、このπがGに属さない場合はどうすればよいでしょうか？おそらく最初から正しいπを見つける方法はありますが、今のところ、これを行う方法がわかりません。

— 伊藤剛14

ああ、あなたは正しい。回答を編集してNPの上限に戻します。

— マイケルブロンディン14

編集ありがとう

— 伊藤剛14

あなたの問題は（）string 同型として知られています。これは、グラフ同型の周りの問題のかなり狭いクラスである：それはGIとして、ハードとして少なくともだ、としている。 $\Gamma$ $G$ $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

GIからの削減：、およびletの誘起作用すること対に。 $N = \binom{n}{2}$ $G \leq S_N$ $S_n$

プロトコル：アーサーはランダムに要素を選択し（これが正確に均一に行われるかどうかはわかりませんが、既知のアルゴリズムはこの結果に対して均一になるのに十分近いと思います）、それをと両方に適用します。確率1/2で、彼はとを交換し、それらをMerlinに提示して、どちらがどちらであったかを尋ねます。 $\mathsf{coAM}$ $G$ $u$ $v$ $u$ $v$

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

Michael Blondinの答えへの私のコメントとあなたの答えを組み合わせて、今私はGIがP（そしておそらくNCでも）にあると思い込んでいるのではないかと心配しています。

— 伊藤剛14

-2

私のコメントにもかかわらず、私も答えを追加します。

与えられた2つのベクトルが互いの順列であることが知られている場合（そして、順列は与えられたグループと知られている/仮定されます）。次に、を変換する順列は、次のように線形時間で見つけることができます。 $G$ $v \to u$

2つのベクトルを上下に並べます
順列は、の1番目の要素から始まり、 1番目の要素に変換されます。 $v$ $u$
（から）前のステップで要素の位置を取得し、ステップ（2）を繰り返します。それが順列の2番目の要素であり、すべての要素がトラバースされるまで続きます。 $u$ $v$

2つのベクトルが互いに順列であることがわからない場合（または、数独ゲームのように複数の変換が可能なより一般的な場合）、一般的なNPハードである別のソリューションの問題を確認してください。これは、特定の問題の制約を満たす対称変換（順列など）を使用して、初期解が与えられた問題の別の解を生成する必要があります。

さらに、これは逆問題（a-la Jaynes）として知られる問題の一部です

— ニコス・M
ソース

この方法で見つかった順列が特定のグループ

にあるべき理由はありません。

G

$G$

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします14

@EmilJeřábek、うーん、この部分を逃しましたが、答えのこの部分はそうであると仮定します（線形アルゴリズムの例示のため）、答えを編集します

— ニコス

そこに存在するかどうかを確認するいくつかの順列マッピング

に

（だけでなく、このような順列をcountructingなど）を、簡単です：ちょうど、各シンボルは両方の単語で発生回数を数えます。

u

$u$

v

$v$

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします14

が

順列でない場合、インスタンスへの答えはnoです。それ以外の場合、そのような順列

は対数空間で計算できます。ただし、

は

ない可能性があるため、問題は解決しません。現在の仮定では、すべてのインスタンスがyesインスタンスであると想定しています。これは、一定の時間内に自明に決定される場合があります。質問にどう答えるかわからない。

u

$u$

v

$v$

π

$\pi$

π

$\pi$

G

$G$

— マイケルブロンディン14

問題はNP困難であるという主張、またはASPに関係があるという主張については証拠がありませんでした。Joshua Grochowの答えでは、多項式階層が第2レベル（正確にはAM = coAM）に崩壊しない限り、問題はNP困難ではありません。

— エミールJeřábekはモニカサポート