対称性と計算の難しさの関係？

-fixed点フリー同型問題は、グラフ同型少なくとも移動を要求ノード。問題は、 > 0 に対して場合、完全です。 $k$ $k(n)$ $NP$ $k(n)=n^c$ $c$

ただし、場合、問題はグラフ同型問題に還元可能な多項式時間チューリングです。もし、問題がであるグラフ同型問題にチューリング等価多項式時間であり、とであることが知られていない -complete。グラフ自己同型問題は、グラフ同型問題にチューリング還元可能です。 $k(n)=O(\log n)$ $k(n)=O(\log n/\log \log n)$ $NPI$ $NP$

グラフ自己同型によって移動した頂点の数をカウントする複雑さについて、Antoni LozanoおよびVijay Raghavan Foundation of Software Technology、LNCS 1530、pp。295–306

検出しようとしているオブジェクトの対称性を高めると、（自己同型によって移動する必要のあるノードの数で示されるように）計算の困難さが増しているように見えます。これは、NP完全版からグラフ自己同型（GA）への多項式時間チューリングの削減の欠如を説明しているようです。

この対称性と硬度の関係をサポートする難しい問題の別の例はありますか？

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース

k固定点のない自己同型のNP補完結果への参照を追加してください。ありがとう。

— マーティンシュワルツ

グラフの自己同型は、NPIにあることは知られていません。

— エミール

@Emil：何もされて知られていない私たちが知っていないことから、NPIにあるように

！しかし、GAとGIは、PHが崩壊しない限りNP完全ではありません。オートー、私たちは、人々が試みて失敗したということを除いて、それがPではないと思う理由を本当に持っていません。

P \neq N P

$P \neq NP$

— ジョシュアグロチョウ

@turkistany：すばらしい質問です！

— ジョシュアグロチョウ

@ジョシュア：はい、知っています。私はちょうど質問テキストの修正を提案していました。

— エミール

回答:

これは正確には対称性と硬さの「同じ」関係ではありませんが、ブール関数の対称性とその回路の複雑性の間には密接な関係があります。見る：

Babai、L.、Beals、R.、およびTakácsi-Nagy、P. and Complexity、STOC 1992。

ここに彼らが示すものがあります。レッツ順列グループのシーケンスです。LET の軌道を示す番号に対するその誘導されたアクションに（座標の順列によって）。LET 言語のクラス示すように下に不変である。次に、すべての言語 $G_{i} \leq S_{i}$ $s(G_{i})$ $G_{i}$ $\{0,1\}^{i}$ $\mathcal{F}(G)$ $L$ $L \cap \{0,1\}^{n}$ $G_{n}$ $\mathcal{F}(G)$ 最大でのサイズと最大で深さの回路を持つ $poly(s(G))$ $poly(\log(s(G))$ あり、これは本質的にタイトです。

反対方向に、いくつかのその証人セット対称性の多くを持っている問題はである終わる（のような）、およびそうでないない限り-complete 崩壊します。実際、次の論文は、その目撃セットに多くの対称性がある問題がに対して低いことを示しています。 $NP$ $coAM$ $GI$ $NP$ $PH$ $NP$ $PP$ 。

アーヴィンド、V、ヴィノドチャンドラン、ネバダ州グループ定義可能な言語の複雑さを数えます。理論。計算。科学 242（2000）、いいえ。1-2、199--218。

（注：いるか否か「の低い」「である可能性が低い示し。ほとんどは、私の知る限り、空気中にある-complete」戸田と荻原を示し、その。だから"derandomization"仮定の下で、のために、実際のローにある、そうするための低さことに支障はありません $PP$ $NP$ $PP^{PH} \subseteq BP \cdot PP$ $BP \cdot PP = PP$ $NP$ $PP$ $PP$ $NP$ -コンプリート。一方、ベイゲルに起因するオラクルがあり、それに対してはに対して低くない。 $NP$ $PP$

上記、すべての多項式時間決定可能同値関係は、多項式時間完全不変を有する場合（関数と同様の静脈にように IFF 、次いで任意）証人問題多数の対称性があるため、その証人の自己同型グループの隠れたサブグループ問題になります。確かに、ここでの仮説は成り立たない可能性が高いですが、対称性と量子複雑性との間に何らかのつながりを与えます。 $f$ $f(x) = f(y)$ $x \sim y$ $NP$

最後に、Mulmuley-Sohoni Geomectric Complexity Theoryプログラムは基本的に対称性を使用して硬度を証明するものですが、対称性と硬度の関係はより微妙で直接的ではありません。

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

多くの対称性を示す構造化されたSATインスタンスは、ランダムなSATインスタンスよりも簡単に解決できるようです。現実世界の問題をSATにエンコードすると、常に構造化インスタンスが発生します（これは驚くことではありません。現実世界の問題には対称性があるためです）。最高の完全なSATソルバーは、最大1,000,000の変数を持つ実世界のインスタンスを効率的に解くことができますが、私が知る限り、それらのどれも、たとえば10,000個の変数を持つランダムなインスタンスを効率的に解くことができません（エドワードA.ホームページでは、驚くほど小さなランダムなインスタンスを見つけることができます。これに対して、最も完全なSATソルバーでさえ立ち往生しています）。したがって、経験的な観点から、対称性の存在は硬度を低下させるように思われます。

— ジョルジオ・カメラニ
ソース