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特定の問題は決定不能であることが知られていますが、それでもそれを解決する上である程度の進歩を遂げることは可能です。たとえば、停止の問題を決定することはできませんが、コード内の潜在的な無限ループを検出するためのツールを作成することで、実用的な進歩を遂げることができます。タイルの問題はしばしば決定不能です（たとえば、このポリオミノはいくつかの長方形にタイルを張りますか？）が、この分野でも最新技術を進歩させることが可能です。 私が不思議に思っているのは、NP困難問題の進捗を測定するために開発された理論的装置に似た、決定できない問題の解決に関する進捗を測定するまともな理論的方法があるかどうかです。それとも、特定のブレークスルーが決定不能な問題の理解をどの程度進めるかについて、その場限りの、私が知っている、進行しているとき、見ているときの評価にこだわっているように思えますか？ 編集：私はこの質問について考えると、おそらくパラメータ化された複雑さがここで関連しているかもしれないと思います。パラメータを導入し、パラメータの値を修正すると、決定できない問題が決定可能になる場合があります。しかし、この観察が役に立つかどうかはわかりません。

48 computability  approximation-algorithms  parameterized-complexity  halting-problem 

メトリックTSPは以内で近似でき、多項式時間でを近似できないことが知られています。指数時間（たとえば、多項式空間のみでステップ未満）で近似解を見つけることについて何か知られていますか？たとえば、距離が最大ツアーを見つけることができる時間と空間は何ですか？1231.51.51.5 2n1.1×OPT123122123122123\over 1222n2n2^n1.1 × O PT1.1×OPT1.1\times OPT

44 cc.complexity-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  tsp  exp-time-algorithms 

積分ギャップ（IG）とその限界の重要性を理解するのにいつも苦労しました。IGは、問題の緩和の最適な実際の解（の品質）に対する最適な整数の回答（の品質）の比率です。例として頂点カバー（VC）を考えてみましょう。VCは、次の一連の線形方程式の最適な整数解を見つけることと言えます。 我々は、ゼロ/ 1値の変数を有するxvxvx_v各頂点に対するSをv∈V(G)v∈V(G)v \in V(G)グラフGGG。式は次のとおり0≤xv≤10≤xv≤10 \leq x_v \leq 1のためのv∈V(G)v∈V(G)v\in V(G)、及び1≤xv+xu1≤xv+xu1 \leq x_v+x_u各辺のuv∈E(G)uv∈E(G)uv \in E(G)。我々は最小限に抑えられます値を探している∑v∈V(G)xv∑v∈V(G)xv\sum_{v \in V(G)} x_v。 この問題を緩和すると、000から間の実数値が許可される111ため、解の空間が大きくなり、最適な実解は、求める最適な整数解よりも小さくなります。したがって、整数解を見つけるために、線形計画法から得られた最適な実際の答えに対して「丸め」プロセスを実行する必要があります。最適な整数解は、最適な実数解と丸めプロセスの結果の間になります。IGは、最適な整数解と最適な実数解の比であり、丸め処理については何も言いません。丸めプロセスは（理論上）実際の解を完全に無視し、最適な整数解を直接計算できます。 なぜ人々はIGの限界を証明することに興味があるのですか？

44 cc.complexity-theory  ds.algorithms  approximation-algorithms  linear-programming  integrality-gap 

より良い言葉がないので、欲は良いです。アルゴリズム入門コースで教えられた最初のアルゴリズムパラダイムの1つは貪欲なアプローチです。貪欲なアプローチは、Pの多くの問題に対してシンプルで直感的なアルゴリズムをもたらします。さらに興味深いことに、一部のNP困難な問題については、明白で自然な欲張り/ローカルアルゴリズムが（適切な複雑性の理論的仮定の下で）最適な近似係数をもたらします。典型的な例はSet Cover Problemです。自然な欲張りアルゴリズムは、P = NPでない限り最適なO（ln n）近似係数を与えます。 適切な複雑さの理論的仮定の下で証明可能な最適であるNP困難問題のいくつかの自然な欲張り/ローカルアルゴリズムに名前を付けます。

38 cc.complexity-theory  lower-bounds  approximation-algorithms  greedy-algorithms  approximation-hardness 

LET重み関数とのグラフである。最大カットの問題は以下を見つけることです： If重み関数は負ではありません（つまり、すべてのe \ in E に対してw（e）\ geq 0）、max-cutには非常に単純な2近似が多くあります。たとえば、次のことができます。G = （V 、E 、W ）G=(V,E,w)G = (V, E, w)W ：E → Rw:E→Rw:E\rightarrow \mathbb{R}のarg maxのS ⊂ V Σ （U 、V ）∈ E ：U ∈ S 、V ∉ S W （U 、V ）argmaxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not …

35 ds.algorithms  graph-theory  approximation-algorithms  max-cut 

通常、NP困難な問題に対する（保証付きの）ソリューションの近似について考えます。Pで既に知られている問題を近似する研究が進行中ですか？これはいくつかの理由で良い考えかもしれません。私の頭の中で、近似アルゴリズムは、はるかに低い複雑さで（またははるかに小さい定数で）実行される場合があります。 また、時間/精度のトレードオフ（FPTASおよびPTAS）を提供するスキームは、大きな入力では受け入れられない下限を持つPの問題にとって非常に魅力的です。 3つの質問：これを明らかに悪いアイデアにしているものがありますか？これらのアルゴリズムの理論を開発する研究が進行中ですか？そうでない場合、少なくとも、そのようなアルゴリズムの個々の例に精通している人はいますか？

34 ds.algorithms  approximation-algorithms 

Arora-Kale SDPソルバーがほぼ線形時間でGoemans-Williamson緩和を近似する方法、Plotkin-Shmoys-Tardosソルバーがほぼ線形時間で分数の「パッキング」および「カバー」問題を近似する方法、およびアルゴリズムがどのように「専門家から学ぶ」抽象的なフレームワークのインスタンス化です。 ケールの論文には優れたプレゼンテーションがありますが、抽象的なフレームワークに直接ジャンプすることは非常に難しいと思います。何をすべきかが絶対に明らかな単純な問題の例から始めて、より一般的な問題に移りたいと思います、アルゴリズムとその分析に「機能」を徐々に追加します。 例えば： Plotkin-Shmoysは、重みのない頂点カバーの線形計画緩和をどのように解決しますか？重み付き頂点カバー？カバーをセットしますか？二部一致？ Arora-Kaleアルゴリズムが何か面白いことをしている最も単純な例は何ですか？グラフのラプラシアンの最大固有値をどのように計算しますか？ （ラプラシアンの最大固有値を計算することは、Max CutのGoemans-Williamson SDP緩和の弱いバージョンを解く問題に相当します。各ベクトルの長さを1つにする代わりに、平方和を求めます。 | V |となる規範の）

34 ds.algorithms  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  semidefinite-programming 

一般に、量子コンピューターがNP完全問題を効率的に解決できるとは考えられていません。古典的な場合、そのような問題に取り組むための1つのアプローチは、近似アルゴリズムを使用することです。量子性が古典的近似法よりも大幅に高速化する量子コンピューティングを使用した近似アルゴリズムに関する研究はありますか？ 「有意」とは、必ずしも指数関数的ではなく、対応する正確なアルゴリズムよりも大きいことを意味します。言い換えれば、私たちのアルゴリズムが正確な解を生み出すという要件を緩和することが、量子アルゴリズムに大きな利点をもたらすかどうかに興味があります。

27 quantum-computing  approximation-algorithms 

次のように我々は加重着色料をカウントすることにより、適切な着色料を数えるの問題を緩和と仮定します。すべての適切な着色は体重1取得し、すべての不正発色が体重取得、いくつかの定数であり、同じ色に着色されているエンドポイントとエッジの数です。 0になり、これは、多くのグラフのために懸命にある適切な着色料を数えるに低減します。cが1の場合、すべての色は同じ重みを取得し、問題は簡単です。を乗算したグラフの隣接行列のスペクトル半径が未満の場合cvcvc^vcccvvvccc−log(c)/2−log⁡(c)/2-\log(c)/21−ϵ1−ϵ1-\epsilon、この合計は収束保証付きの信念伝播によって近似できるため、実際には簡単です。特定の計算ツリーは相関の減衰を示し、したがって保証された近似のための多項式時間アルゴリズムを可能にするため、理論的にも簡単です-Tetali、（2007） 私の質問は、グラフの他のどのような特性がローカルアルゴリズムにとってこの問題を難しくしているのでしょうか？わずかな範囲のしか対処できないという意味で難しい。ccc 編集09/23：これまでのところ、このクラスの問題に対して2つの決定論的多項式近似アルゴリズム（WeitzのSTOC2006論文の派生物と、近似計算のためのGamarnikの「キャビティ拡張」アプローチの派生物）に遭遇しました。グラフ上を歩くことを避けます。スペクトル半径は、この分岐係数の上限であるために上がります。質問はそれです-それは良い見積もりですか？自己回避歩行の分岐因子が制限され、通常の歩行の分岐因子が制限なく成長する一連のグラフを作成できますか？ 編集 10/06 ：Allan Slyによるこの論文（FOCS 2010）は関連性があるようです...結果は、自己回避歩行の無限ツリーの分岐因子が、カウントが困難になるポイントを正確にキャプチャすることを示唆しています。 編集10/31：アラン・ソカル予想（「多変量トゥッテ多項式」のp.42）は、maxmaxflow（最大st flow over）に関して線形である色彩多項式のゼロのない領域の半径に上限があることすべてのペアs、t）。適切な色の数が0に近づくと、長距離の相関関係が現れるため、これは関連しているようです。

26 graph-theory  approximation-algorithms  approximation-hardness  counting-complexity  graph-colouring 

NP最適化問題に特化した最新のwikiを知っていますか？ フィードバックに基づいて、そのようなリソースがないと仮定するのが安全であると思われます（2つの近いオプションについては、この質問の最後を参照してください）。-2月8日に追加。 過去20年間に導入された膨大な結果と問題があるため、専用のWikiの存在は、近似アルゴリズムと近似の難易度の問題に取り組んでいる学生や専門家にとって大きな助けになる可能性があります。 私は新しいウィキを始めることを提案されました。このアイデアは気に入っていますが、始める前にいくつかのフィードバックが必要 です。上記のテーマに特化したWikiに興味があり、何か貢献するつもりはありますか？このWikiの優先フォーマットは何ですか（コメントで優先フォーマットを参照）？ウィキファームまたはウィキエンジンを使用する必要がありますか？後者の場合、wikiエンジンの提案は何ですか？MediaWiki？ 私が知っている最も近い2つのオプションは次のとおりです 。1-「NP最適化問題の大要」、Pierluigi CrescenziおよびViggo Kannによる編集：この大要は時代遅れのようです。現在の結果のボリュームは少数の人々によって管理することはできないと思います。最新のリストが必要な場合は、ウィキが必要です。 2- Wikipedia：このwikiは一般の読者向けであり、問​​題の説明、最良の近似および硬度の結果を含む短いページを作成することはできません。

26 ds.algorithms  reference-request  approximation-algorithms  approximation-hardness 

次の制限がある最小セットカバー問題を考慮してください。各セットには最大で要素が含まれ、ユニバースの各要素は最大で個のセットで発生します。fkkkfff 例：およびは、最大次数4のグラフの最小頂点被覆問題と同等です。f = 2k = 4k=4k = 4f= 2f=2f = 2 ましょう見つけるように最大値であるパラメータと最小セットのカバー問題の-approximationおよび NP困難です。a （k 、f ）k fa （k 、f）> 1a(k,f)>1a(k,f) > 1a （k 、f）a(k,f)a(k,f)kkkfff 例：（Berman＆Karpinski 1999）。（4 、2 ）≥ 1.0128a(4,2)≥1.0128a(4,2) \ge 1.0128 質問：既知の最強の下限を要約したリファレンスはありますか？特に、と両方が小さいがの場合の具体的な値に興味があります。k f f > 2a （k 、f）a(k,f)a(k,f)kkkffff> 2f>2f > 2 セットカバー問題の制限付きバージョンは、多くの場合、削減に便利です。通常、と値の選択にはある程度の自由度があり、詳細情報は、最も強い硬度結果を提供する適切な値を選択するのに役立ちます。参考資料ここでは、ここでは、とここで開始点を提供していますが、情報がやや時代遅れと断片的です。より完全で最新のソースがあるかどうか疑問に思っていましたか？f a （k 、f ）kkkfffa （k 、f）a(k,f)a(k,f)

26 cc.complexity-theory  reference-request  approximation-algorithms  set-cover  np-hardness 

これは以前にMSE に投稿しましたが、ここで質問する方が良いかもしれません。 普遍近似定理は、「限られた数の隠れニューロンを含む単一の隠れ層を備えた標準的な多層フィードフォワードネットワークは、活性化関数に関する穏やかな仮定の下で、Rnのコンパクトなサブセットの連続関数間の普遍的な近似器である」と述べています。 私はこれが何を意味するのか理解していますが、関連する論文は数学の理解レベルをはるかに超えており、なぜそれが真実であるか、隠れ層が非線形関数をどのように近似するかを把握することはできません。 それでは、基本的な計算や線形代数よりも少し高度な用語で、1つの隠れ層を持つフィードフォワードネットワークはどのように非線形関数を近似しますか？答えは必ずしも完全に具体的である必要はありません。

23 approximation-algorithms  ne.neural-evol  na.numerical-analysis 

P = NPでない限り、場合、最大独立集合（MIS）は係数内で近似するのが難しいことがわかります。より良い近似アルゴリズムが知られているグラフの特別なクラスは何ですか？n1−ϵn1−ϵn^{1-\epsilon}ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0 多項式時間アルゴリズムが知られているグラフは何ですか？完全なグラフについてはこれが知られていますが、他に興味深いグラフのクラスはありますか？

23 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms 

近似アルゴリズムを設計する際に、半正定値プログラムに続く丸めステップが解決される場合があります。これを説明するためによく使用される例はMax-Cutです。（たとえば、Vijay Vaziraniによる近似アルゴリズムを参照してください。） Max-Cutの問題を超えて、分析に使用されるより複雑な丸めアルゴリズムと手法を説明する優れた教育資料や調査はありますか？SDP-ソリューションのベクトルが超球面上に均一に分布していない、長さが異なる、または分析を困難にする他の特性がある場合を考えています。

22 ds.algorithms  reference-request  approximation-algorithms  semidefinite-programming  csp 

1999年、Petra SchuurmanとGerhard J. Woegingerが論文「機械スケジューリングのための多項式時間近似アルゴリズム：10の未解決問題」を発表しました。それ以来、私の知る限り、同じ問題のリストに関係するレビューは出ていません。したがって、私たち一人一人が10の未解決の問題のいくつかについてそのような要約を作成し、ここでそれを貢献できれば、とても便利です。

22 ds.algorithms  approximation-algorithms  open-problem  approximation-hardness  scheduling