Pの問題の近似アルゴリズム

通常、NP困難な問題に対する（保証付きの）ソリューションの近似について考えます。Pで既に知られている問題を近似する研究が進行中ですか？これはいくつかの理由で良い考えかもしれません。私の頭の中で、近似アルゴリズムは、はるかに低い複雑さで（またははるかに小さい定数で）実行される場合があります。

また、時間/精度のトレードオフ（FPTASおよびPTAS）を提供するスキームは、大きな入力では受け入れられない下限を持つPの問題にとって非常に魅力的です。

3つの質問：これを明らかに悪いアイデアにしているものがありますか？これらのアルゴリズムの理論を開発する研究が進行中ですか？そうでない場合、少なくとも、そのようなアルゴリズムの個々の例に精通している人はいますか？

Jukkaが指摘しているように、計算幾何学は多項式時間で解くことができる問題の豊富なソースですが、高速な近似を取得したいと考えています。古典的な「理想的な」結果は、実行時間がの形式の「LTAS」（線形時間近似スキーム）です。通常、これらは定数を抽出することによって取得されます（poly（））データからカーネルのサイズを決定し、そのカーネルで高価なアルゴリズムを実行し、カーネルの正確な解が入力全体の近似解であることを保証します。$O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$$1/\epsilon$

いくつかのトリック、削減、および原則があり、Sariel Har-Peledの新しい本はこれらに満ちています。そのような豊かな複雑性理論があるとは思わない。

問題の近似解を見つける最近の論文の非網羅的なリスト$P$

1）ほぼ線形時間での線形方程式（対称対角支配的）の近似解に関する多くの作業があります$\mathcal{O}(n\cdot\text{polylog}(n))$

（論文リスト）http://cs-www.cs.yale.edu/homes/spielman/precon/precon.html

（一般に、線形方程式のほとんどの反復ソルバーは、 epsilon-真の解を近似する原理を共有しています。より一般的な問題を解決する反復法（たとえば、いくつかの凸/線形プログラム）にも同じことが言えます）。$\epsilon$

2）最小/最大カット/フローの 近似解http://people.csail.mit.edu/madry/docs/maxflow.pdf$s-t$

3）準線形時間での信号のフーリエ変換のスパース近似の検索http://arxiv.org/pdf/1201.2501v1.pdf

4）マトリックスの近似主成分の検索http://www.stanford.edu/~montanar/RESEARCH/FILEPAP/GossipPCA.pdf

Pの問題の近似アルゴリズムで開発されている一般的な理論を知りません。ただし、近似距離オラクルと呼ばれる特定の問題を知っています。

重み付き無向グラフが与えられた場合 ノードとエッジの場合、ポイントツーポイントクエリは2つのノード間の距離を要求します。$G = (V, E)$$n = |V|$$m = |E|$$s, t \in V$

距離オラクル問題では、スペース、クエリ時間、および近似値の間に3つのトレードオフがあります。全ペア距離行列を保存することにより、時間で各クエリを正確に（近似=）答えることができます。または、時間で最短経路アルゴリズムを実行します。大規模なグラフの場合、これらの2つのソリューションでは、非常に大きなスペース（マトリックスを格納するため）またはクエリ時間（最短パスアルゴリズムを実行するため）が必要になる場合があります。したがって、近似を許可します。$1$$O(1)$$O(m + n\log n)$

一般的なグラフの場合、最新技術はThorupとZwickの距離オラクルであり、任意の近似最適なスペースが必要です。また、スペースとの近似的なトレードオフも得られます。$k$

疎グラフの場合、より一般的な空間近似時間のトレードオフを表示できます。

グラフ内の最短経路の検索、セット内の一意の要素の数の検索など、単純な問題の近似解を求めることがよくあります。ここでの制約は、入力が大きいことであり、データを1回通過するだけで問題を解決したいということです。線形/ほぼ線形の時間で近似解を達成するために設計されたいくつかの「ストリーミング」アルゴリズムがあります。

私が取り組んだ問題の1つは、媒介中心性の近似です。これは、個の頂点とエッジを持つグラフの時間で解決できます。間の中心性に一定の因子近似を与える線形時間アルゴリズムは、非常に実用的な重要性があります。$O(nm)$$n$$m$

最大一致のための高速近似アルゴリズムが知られています。少なくとも私の頭に浮かぶのはhttp://arxiv.org/pdf/1112.0790v1.pdfです。

$P$

データストリーミングとサブリニアアルゴリズムの全領域がこの方向の努力だと思います。データストリーミングでは、o（n）および理想的にはO（polylog（n））空間の問題を解決することに焦点が当てられていますが、サブリニアアルゴリズムでは、o（n）の実行時間でアルゴリズムを取得しようとします。どちらの場合も、ランダム化された近似アルゴリズムを持つことで妥協する必要がしばしばあります。

このページとこれの資料から始めることができます。

$\epsilon$$\epsilon$。多品目フロー（およびより一般的にはLPのパッキングおよびカバー）などの線形計画問題の特殊なケースをおよそ解決することに関する多くの論文があります。Pの問題とNPの問題の近似の個別の理論はありません（PがNPと等しいかどうかはわかりません）。特定のクラスの問題に適用可能な特定の手法について話すことができます。たとえば、パッキングを近似的に解き、線形プログラムといくつかの変形をカバーする一般的な手法が知られています。

ディミトリスは、フーリエ変換の近似に言及しています。これは、たとえばJPEGアルゴリズムなどの画像圧縮で広く使用されています。[1] これを強調した論文を見たことはありませんが、何らかの意味で、損失のある圧縮 [2]（導出可能な制限付き）は、P時間近似アルゴリズムと見なすこともできます。近似の側面は高度に開発され、人間の視覚で知覚できないように最適化されているという意味で微調整/特殊化されています。

これは、人間の目がどのように知覚するか、またはアルゴリズムのようなプロセスを介して実際にカラーエンコーディングを「概算する」という理論に関連しています。言い換えれば、理論的近似スキーム/アルゴリズムは実際には物理的/生物学的近似スキーム/アルゴリズム（生物学的情報処理、つまり人間の視覚系のニューロンによってエンコードされる）に一致するように意図的に設計されています。

そのため、圧縮は近似と密接に関連しています。JPEGでは、フーリエ変換はDCT、離散コサイン変換によって近似されます[3]。MPEGビデオ圧縮標準では、複数のフレームで同様の原理が採用されています。[4]

[1] jpeg圧縮、ウィキペディア

[2] 非可逆圧縮、ウィキペディア

[3] DCT、離散コサイン変換、ウィキペディア

[4] MPEG、ウィキペディア

これはあなたの質問に正確に答えているわけではないかもしれません。現在、私はいくつかの経験則を覚えているだけです。

$O(f(k)*|G|^\alpha)$$f(k)$ 問題とその後の近似/ヒューリスティック（2010年、2011年の単純なgoogleの結果）、またはグラフのツリー分解を見つけるためのアルゴリズム。

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020019002003939

Doratha DrakeとStefan Hougardyによる記事「重み付きマッチング問題の簡単な近似アルゴリズム」へのリンクです。