理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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mを法とする行列式
（法とする剰余環）の係数を持つ整数行列の行列式を計算するための既知の効率的なアルゴリズムは何ですか。数値は素数ではなく、複合で可能性があります（したがって、計算はフィールドではなくリングで実行されます）。 mmZmZm\mathbb{Z}_mmmmmmm 私が知る限り（以下を参照）、ほとんどのアルゴリズムはガウス消去法の修正です。問題は、これらの手順の計算効率についてです。 何らかの異なるアプローチがあることが起こった場合、私はそれにも興味があります。 前もって感謝します。 更新： この質問の原因を説明しましょう。は素数であると仮定します。したがって、はフィールドです。この場合、未満の数値を使用してすべての計算を実行できるため、数値のすべての操作に優れた上限があります：加算、乗算、反転---ガウス消去法を実行するために必要なすべての操作。Z m mmmmZmZm\mathbb{Z}_mmmm 一方、が素数ない場合、一部の数値の反転を実行できません。したがって、行列式を計算するにはいくつかのトリックが必要です。mmm そして今、私は仕事をするための既知のトリックは何であり、そのようなトリックは本や論文で見つけることができるかどうかに興味があります。
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nで割り切れるバイナリ文字列を受け入れる有限オートマトン
私はクラスの問題セットに取り組んでおり、私が取り組んでいたことに関連する質問を考えました。整数nで割り切れる数を表すバイナリ文字列を受け入れるために、有限オートマトンが持つ必要がある状態の最小数はありますか？以前の問題セットでは、3つの状態を持つ3で割り切れるバイナリ文字列を受け入れるDFAを構築できました。これは偶然ですか、それとも最小数の状態を示唆するnで割り切れる文字列を検出する一般的な問題に固有のものがありますか？ これは宿題の質問には答えないことを約束します！:)
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最短等価CNF式
LET である充足とCNF式のn変数とm個の句。してみましょうS F 1の解空間もF 1。F1F1F_1nnnmmmSF1SF1S_{F_1}F1F1F_1 所与の決定の問題は、考える、別のCNF式F 2などの変数の同じセットをF 1と、S F 2 = S F 1（同じ解空間F 1（）が、できるだけ少ない句と唯一の目的は句の数を最小限にすることなので、各句に含まれるリテラルの数は関係ありません）。F1F1F_1F2F2F_2F1F1F_1SF2=SF1SF2=SF1S_{F_2} = S_{F_1}F1F1F_1 質問 誰かがすでにこの問題を調査しましたか？それに関する文献の結果はありますか？ 例として、次のCNFフォーミュラ（各行は句です）を考えます。 F1F1F_1 X 2 ∨ X 3 ∨ X 4 ¬ X 1 ∨ X 2 ∨ X 4 ¬ X 1 ∨ X 2 ∨ ¬ X 3 ¬ X …
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なぜハイパーコンピューティングの研究は衰退したのですか？
1990年代にハイパーコンピューティングに関する多くの研究を見てきましたが、最近ではこのトピックに関する研究はほとんど行われていないようです。この分野の研究が衰退したというのは本当ですか？もしそうなら、その理由は何でしょうか？このエリアは有望ではないと確信して示されましたか？
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一時的にフラットな一方向量子コンピューティング
私は心の物理学者なので、一方向量子コンピューティングは素晴らしいと思います。特に、グラフ状態測定ベースの量子コンピューティング（MBQC）は、Raussendorf＆Briegelが発案した量子コンピューティングの研究において、本当に素晴らしい発展を遂げています。グラフで説明されているように、複数の部分が絡み合った状態を準備し、各ノードまたはキュービットで順次測定を実行する必要があります（決定論的計算の適応測定）。 このアプローチのもう1つの優れた側面は、ラウッセンドルフ、ブラウン、ブリーゲルが示すように、クリフォード回路をシングルラウンドの測定で実装できることです。これらの回路は、GottesmanとKnillが示すように（効率的に）古典的にシミュレートできるため、古典的なシミュレーションと時間的リソースの間の興味深い関係です。 ただし、すべての時間的にフラットなGraph State MBQC回路（1ラウンドの測定で構成される）が古典的にシミュレートできるとは限りません。たとえば、シェパードとブレムナーによって導入されたIQP回路と呼ばれる通勤ゲートで構成される量子回路モデルの回路ファミリは、MBQC でシングルタイムステップで実装できます。これらのIQP回路は、古典的にシミュレーション可能ではないと考えられています（計算の複雑さの観点では、多項式階層の崩壊につながります）。 ここで、1つのタイムステップで実装された回路のクラスのわかりやすい説明も参照してください。通勤/対角ユニタリは興味深い動作をすることができますが、非通勤回路は古典的にシミュレーション可能です。実装できるが、古典的なシミュレーションが可能であることがまだ示されていない非通勤回路があれば興味深いでしょう。 とにかく、私の質問は： MBQCで1つのタイムステップで実装できる他の興味深い回路はありますか？ 私は計算の複雑さや古典的なシミュレーションとの関係を好みますが、私は何か面白いものを見つけるでしょう。 編集：ジョーの以下の優れた答えの後、私はいくつかのことを明確にする必要があります。ジョーが言ったように（そして、少し恥ずかしいことに、私は自分の論文の1つで言ったように）、単一の測定ラウンドMBQC回路がIQPにあります。より正確には、MBQCの1回の測定で実装できるIQPの問題の興味深い回路に興味があります。クリフォードサーキットは興味深い例です。古典的にシミュレート可能な他の例があれば、それは非常に興味深いでしょう。IQP回路をシミュレートすることは古典的にはありそうもないと考えられているため、ある回路のインスタンスを見つけることは興味深いでしょう。
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スーパーストリングを正確に解く
最短スーパーストリング問題の正確な複雑さについて何が知られていますか？よりも速く解けるO∗(2n)O∗(2n)O^*(2^n)か？TSPに減らすことなく最短スーパーストリングを解決する既知のアルゴリズムはありますか？ UPD： O∗(⋅)O∗(⋅)O^*(\cdot)は、多項式因子を抑制します。 最短スーパーストリング問題は、その答えが、ストリングの特定のセットからの各ストリングを含む最短ストリングである問題です。問題は、有名なNP困難問題Shortest Superstringの最適化拡張についてです（Garey and Johnson、p.228）。
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理論的コンピューターサイエンスへの実際の分析技術の応用はありますか？
私はそのようなアプリケーションを広範囲に見てきましたが、ほとんどが不足しています。可算（または不可算）セットでトポロジおよび類似の構造の多くのアプリケーションを見つけることができますが、コンピューターサイエンティストによる研究の対象として実際に不可算セットを見つけることはめったにないため、分析の手法が必要になります。
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ゲートファンアウト1 を使用して
編集（2011年8月22日）： 私はさらに質問を簡素化し、質問に報奨金を置いています。おそらく、この単純な質問には簡単な答えがあります。また、関連性がなくなった元の質問のすべての部分を取り消し線で囲みます。（元の質問に部分的に答えてくれたStasys JuknaとRyan O'Donnellに感謝します！） バックグラウンド： AC所与0深さkとサイズSを有する回路、別のAC存在0深さkとサイズと同じ関数演算回路新しい回路は全てゲートのファンアウト= 1を有するように。つまり、回路はツリーのように見えます（入力は複数のゲートにファンアウトする可能性があるため、入力を除く）。これを行う1つの方法は、すべてのゲートのファンアウトが1になるまで、ファンアウトが1より大きいすべてのゲートを複製することです。O （Sk）O(Sk)O(S^k) しかし、これはAC 0回路をファンアウト1のAC 0回路に変換する最も効率的な方法ですか？Ryan O'Donnellのコースノートの講義14で以下を読みました。 Cがパリティを計算するサイズSの深さkの回路であると仮定します。Cをレベル化されたdepth-k回路に変換できることを示す演習です。レベルはANDゲートとORゲートを交互に切り替え、入力ワイヤは2nリテラルであり、各ゲートにはファンアウト1があります（つまり、ツリーです） ） -せいぜいへとサイズが大きく。（2 k S）2≤ O （S4）(2kS)2≤O(S4)(2kS)^2 \leq O(S^4) 脚注：実際、これは少しややこしい練習です。サイズのみを取得する必要がある場合は簡単です。これは、kを「定数」と考える場合、この目的ではほぼ同じです。O （Sk）O(Sk)O(S^k) これは、サイズSの深さk AC 0回路を取り、ファンアウト1、深さk、サイズ（2 k S ）2の AC 0回路に変換する方法があることを意味しますか？もしそうなら、これはどのように行われ、これは最も有名な方法ですか？ （2 k S）2(2kS)2(2kS)^2 元の質問： AC所与0深さkとサイズSを有する回路、ACにこれを変換する（結果として得られる回路の回路規模を最小限に抑えるという点で）最もよく知られた方法何0 1ファンアウト深さkおよびゲートの回路は？これについて知られている下限はありますか？ より新しく、より簡単な質問： この質問は、結果の回路が一定の深さであることを私が主張しない元の問題の緩和です。上で説明したように、深さk、サイズSのAC 0回路をサイズ回路に変換して、新しい回路がすべてのゲートでファンアウト= 1になるようにする方法があります。より良い構造はありますか？O （Sk）O(Sk)O(S^k) 深さkおよびサイズSのAC 0回路が与えられた場合、これをゲートファンアウト1を持つ任意の深さの回路に変換する（結果の回路の回路サイズを最小化するという点で）最もよく知られている方法は何ですか？
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多数決の最良の近似は何ですか？
多数決操作はフォールトトレランスでかなり頻繁に発生し（他の場所も疑いありません）、関数は入力ビットの値で最も頻繁に現れる値に等しいビットを出力します。簡単にするために、入力が状態0と状態1で等しい数のビットを含むときはいつでも、0を出力すると仮定しましょう。 これは、入力で最も頻繁に発生する値を返すことにより、各入力に2つ以上の可能性があるditに一般化できます。タイの場合、辞書順で最初に来る最も頻繁な値を返します。この関数を「複数票」と呼びましょう。 各入力に確率分布が固定されている（および入力の各ditで分布が同じである）場合、このような関数の出力に興味があります。具体的には、次の質問に関心があります。 セット与えられた場合、セットが独立してランダムに回サンプリングされ、確率で 毎回要素を選択する場合、固定選択確率は何であるこれらの出力の複数の投票その？N p i i t h S v S vS={S1,S2,...,Sn}S={S1,S2,...,Sn}S=\{S_1, S_2,... ,S_n\}NNNpipip_iithithi^{th}SSSvvvSvSvS_v さて、上記の質問に対する正確な答えを多項分布の合計として計算するのは簡単です。しかし、私の目的では、これは理想的とは言えません。近似のために閉じた方が良いでしょう。だから私の質問は： 上記の確率のどの閉形式近似は、正確な値からの最大距離に最も厳しい境界を持っていますか？
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離散フーリエ変換の計算の複雑さ？
n個の整数のベクトルの標準離散フーリエ変換を計算する複雑さ（標準整数RAM上）は？nnn CooleyとTukey に不適切に起因する[1] 高速フーリエ変換の古典的なアルゴリズムは、通常O （n log n ）時間で実行されると説明されています。ただし、このアルゴリズムで実行される算術演算のほとんどは、（ほとんどの場合n）非合理的な単位の複雑なn番目のルートから始まるため、一定時間での正確な評価は合理的ではありません。ナイーブO （n 2）-時間アルゴリズム（団結の複雑な根のヴァンダーモンド行列を掛ける）でも同じ問題が発生します。O （n ログn ）O(nlog⁡n)O(n \log n)nnnnnnO （n2）O(n2)O(n^2) DFTの出力を（有用な形式で）正確に表現する方法すら明確ではありません。つまり、DFTの計算が実際に可能かどうかは明らかではありません。 したがって、各出力値に必要な精度はビットのみであるとします。 nとbの関数としての離散フーリエ変換の計算の複雑さは何ですか？ （具体的には、nが2の累乗であると仮定してください。）bbbnnnbbbnnn222 または、文献の「FFT」のすべてのインスタンスは、実際には「高速数論変換」を意味しますか？[2] ガウス消去法とユークリッド最短経路の複雑さに関する私の関連する質問を参照してください。 [1]ガウス・ルンゲ・ケーニヒ・イェイツ・スタンプ・ダニエルソン・ランチョス・クーリー・テューキーのアルゴリズムと呼ばれるべきです。 [2]もしそうなら、ほとんどの教科書が複素数アルゴリズムのみを説明しているのはなぜですか？
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スペースを使用したCFG解析
時間で文脈自由文法を解析できる多数のアルゴリズムがあります。行列乗算を使用すると、それよりも漸近的に高速化することもできます。O （n3）O（n3）O(n^3) ただし、私が知っている任意のCFGを解析するためのすべてのアルゴリズムは、最悪の場合のスペース使用量が（ただし、確かに、その行列乗算アルゴリズムのスペース使用量はわかりません）。私は、このスペース使用量を改善するアルゴリズムがあるかどうか疑問に思っていました（時間制限は無視します）。Ω （n2）Ω（n2）\Omega(n^2) 精神的に連結した後、私の心にポップアップ質問とΩ （N 2）全てのCFG解析アルゴリズムに結合した空間知っていた。おそらく実用的な関心はありませんが、単に知りたいと思うものです。CSG = ND SPA CE（N ）⊆ D SPA CE（n2）CSG=NDSPACE（n）⊆DSPACE（n2）CSG = NDSPACE(n) \subseteq DSPACE(n^2)Ω （n2）Ω（n2）\Omega(n^2)
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XORificationの使用
XOR化は、すべての変数を異なる変数のXORで置き換えることにより、ブール関数または式をより難しくする手法です。 K ≥ 2 X 1バツバツxK ≥ 2k≥2k\geq 2バツ1⊕ ··· ⊕ Xkバツ1⊕…⊕バツkx_1 \oplus \ldots \oplus x_k 私は、主に解像度ベースの証明システムの空間の下限を取得するために、たとえば論文の中で、証明の複雑さでこの手法を使用することを知っています。 エリ・ベン・サッソン。解像度とサイズスペースのトレードオフ。STOC 2002、457-464。 エリ・ベン・サッソンとヤコブ・ノードストローム。証明の複雑さにおけるスペースの理解：置換による分離とトレードオフ。ICS 2011、401-416。 他の分野でこの技術の他の用途はありますか？
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