nで割り切れるバイナリ文字列を受け入れる有限オートマトン

私はクラスの問題セットに取り組んでおり、私が取り組んでいたことに関連する質問を考えました。整数nで割り切れる数を表すバイナリ文字列を受け入れるために、有限オートマトンが持つ必要がある状態の最小数はありますか？以前の問題セットでは、3つの状態を持つ3で割り切れるバイナリ文字列を受け入れるDFAを構築できました。これは偶然ですか、それとも最小数の状態を示唆するnで割り切れる文字列を検出する一般的な問題に固有のものがありますか？

これは宿題の質問には答えないことを約束します！:)

このような有限オートマトンの状態の最小数には既知の公式があります。これは、依存します。$n$$R$と、基礎となる位置表現のにます。

$n$$R$$n$$n$

同じテーマに関する別の論文があります。B。Alexeev、テストの可分性の最小DFA、J。Comput システム。科学 69（2004）、235–243。