多数決の最良の近似は何ですか？

多数決操作はフォールトトレランスでかなり頻繁に発生し（他の場所も疑いありません）、関数は入力ビットの値で最も頻繁に現れる値に等しいビットを出力します。簡単にするために、入力が状態0と状態1で等しい数のビットを含むときはいつでも、0を出力すると仮定しましょう。

これは、入力で最も頻繁に発生する値を返すことにより、各入力に2つ以上の可能性があるditに一般化できます。タイの場合、辞書順で最初に来る最も頻繁な値を返します。この関数を「複数票」と呼びましょう。

各入力に確率分布が固定されている（および入力の各ditで分布が同じである）場合、このような関数の出力に興味があります。具体的には、次の質問に関心があります。

セット与えられた場合、セットが独立してランダムに回サンプリングされ、確率で毎回要素を選択する場合、固定選択確率は何であるこれらの出力の複数の投票その？ $S=\{S_1, S_2,... ,S_n\}$ $N$ $p_i$ $i^{th}$ $S$ $v$ $S_v$

さて、上記の質問に対する正確な答えを多項分布の合計として計算するのは簡単です。しかし、私の目的では、これは理想的とは言えません。近似のために閉じた方が良いでしょう。だから私の質問は：

上記の確率のどの閉形式近似は、正確な値からの最大距離に最も厳しい境界を持っていますか？

co.combinatorics

— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

わかりませんが、「制御理論のコンセンサス」または「制御理論のコンセンサス問題」という検索フレーズをお勧めします。これは、分散コンピューティングのコンセンサス問題とは異なる問題であり、必要なものかもしれません。

— アーロンスターリング

NがNに比べて大きい場合にうまく機能する近似を探していますか？その場合、タイブレークルールは無関係である必要があります。

— 伊藤剛

@TsuyoshiIto：はい、そうです、そして実際、そのルールは無関係です。しかし、私は質問が適切に提示されたことを確認したかったです。その矛盾を簡単に抑えることができるので、私は関係がどのように破られるかについてはあまり気にしません。

— ジョーフィッツシモンズ

さて、ここでエンベロープ推定値を戻します...

を、セット

を選択する回数とします。これは二項変数です。彼らは独立しているふりをします。さて、固定値のため

、あなたは、この値は取得の確率を計算することができます

、この値のために、それは他のすべての変数に勝ち確率を計算します。これにより、確率にかなり良い範囲が与えられます。もちろん、それらは最も厳密ではありません-考慮する依存度が高いほど、見積もりはより正確になりますが、より多くの計算が必要になります。

Y_{i}

$Y_i$

S_{i}

$S_i$

Y_{v}

$Y_v$

Y_{v}

$Y_v$

— サリエルハーペレ

すべてのに対して場合、 $p_v > p_i$ $i \ne v$

P r [結果は v] \leq \underset{T}{分} （ P r [B （ N 、 p_{v} ） \leq T] + P r [\forall 私 \neq v B （ N 、 p_{私} ） \geq T] ） 、

$\mathrm{Pr}[\mbox{outcome is different from $v$}] \leq \min_T \left(Pr[B(N, p_v) \leq T] + Pr[\forall i \ne v \quad B(N, p_i) \geq T]\right),$

ここで、は二項分布であり、は任意のしきい値です。プラグとチャーノフ境界を使用して、一つは、この確率を上限することができ。 $B(n, p)$ $T$ $T = N (p_v + \max_{i \ne v} p_v) / 2$ $e^{-\Omega(N)}$

もちろん、が最大でない場合は、反対の図が得られます。圧倒的な確率では結果ではありません。 $p_v$ $v$

— イリヤラス
ソース

問題について考えてくれてありがとう、しかしこれは私が探しているものではありません。それは閉じた形ではありません。無限の指数を合計する必要があります。私はすでに正確な解の書き方を知っており、個々の用語の多くの近似を知っていますが、それは私が望むものではありません。私は、個々の用語ではなく、解の閉形式近似を探しています。また、エラーに適切な範囲が必要です。

— ジョーフィッツシモンズ

同じ方法を使用して、閉じたフォームを取得できます（追加の係数

満足している

）。また、エラーを制限するために、チェルノフの範囲の代わりにベリー・シーンの定理を使用できます。

n

$n$

— イリヤラス

@ilyarazあなたの最初の不均衡を理解しようとしています。なぜ成り立つのか、もっと説明してもらえますか？何らかの方法で結合された結合を使用したと思いますが、理解できません。ありがとう:)

— AntonioFa