理論的コンピューターサイエンスへの実際の分析技術の応用はありますか？

私はそのようなアプリケーションを広範囲に見てきましたが、ほとんどが不足しています。可算（または不可算）セットでトポロジおよび類似の構造の多くのアプリケーションを見つけることができますが、コンピューターサイエンティストによる研究の対象として実際に不可算セットを見つけることはめったにないため、分析の手法が必要になります。

関連する2つのコースを次に示します。

• トロント大学のEhud FriedgutによるコンビナトリクスとCSの分析方法（2009）、
• ヘブライ大学でのIrit DinurとEhud Friedgutによるコンビナトリクスとコンピューター科学の分析手法（2006）。

また、Ryan O'Donnellの本に関するメモも確認してください。

• Ryan O'Donnellによるブール関数の分析。

右上隅のリンク。

Graham、Knuth、Patashnikによる「コンクリート数学-コンピュータサイエンスの基礎」という本を参照してください。第9章では、オイラー-マクローリンの加算式について説明します。これは、積分を使用して有限合計を近似できる手法です。同じ章の466ページで、彼らはこの手法を使用して高調波数を近似します（TCSのいくつかの領域で多く見られます）。それを使用しなければならなかったことが一度ありましたが、最終的に微分方程式の漸近近似手法を使用して積分を解きました！

LovaszとB. Szegedyの研究で開発された、密なグラフシーケンスの限界の理論があります。グラフ上の特定のプロパティテストの問題に影響を与えます。http://www.cs.elte.hu/~lovasz/hom-stoc.pdfを参照してください。基本的には、グラフの適切なメトリックとグラフシーケンスの制限を取るという概念を定義し、グラフをプロパティへの編集距離にマッピングする関数が定義されたグラフ上のメトリック空間。

そしてもちろん、アルゴリズムの解析を含む組み合わせ構造の漸近解析のための解析手法を完全に使用することに専念するFlajoletとSedgewickのマグナム作品があります。これは主に複雑な分析に依存する関数のトリックを生成しています

シルが言及したように、ジェンセンの不平等は常に現れます。特に組み合わせ問題の限界を証明する際に。たとえば、次の問題を考えます。

ファミリー所与のサブセットのV = { 1 、... 、N }、その交差部グラフG = （V 、Eは）によって定義され、{ I 、J } ∈ E場合にのみ$S_1, \ldots, S_n$$V = \{1, \ldots, n\}$$G = (V, E)$$\{i, j\} \in E$。平均セットサイズが rで、ペアワイズ交点の平均サイズが最大でkであると仮定します。見せて$S_i \cap S_j \neq \emptyset$$r$。$|E| \geq \frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2}$

証明：

私たちはペア数えましょう、その結果のx ∈ Vとのx ∈ S I ∩ S jは。最初に（S i、S j）を修正しましょう。最大でk個のそのような選択肢があることがわかります。すべての値撮る（S I、S jは）だけでなく、我々は上の結合したK ⋅ （$(x, (S_i, S_j))$$x \in V$$x \in S_i \cap S_j$$(S_i, S_j)$$k$$(S_i, S_j)$。xを修正しました。各xが（ d（x$k \cdot \binom{n}{2} = k \cdot |E|$$x$選択方法（Si、Sj）。ジェンセンの不等式により、$\binom{d(x)}{2}$$(S_i, S_j)$

。$n \cdot \binom{r}{2} = n \cdot \binom{\frac{1}{n}\sum_x d(x)}{2} \leq \sum_x \binom{d(x)}{2} \leq k \cdot |E|$

最終的に用語を結合して。$\frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2} \leq |E|$

これはCSよりも少し「数学的」ですが、特にコンビナトリアル最適化において、凸関数のツールをどのように使用できるかを示すのに役立ちます。

Andrej BauerとPaul TaylorによるDedekind Realsによる効率的な計算はどうですか。

離散数学の問題にアプローチする際に非常に一般的でしばしば有用な手法は、それを連続領域に埋め込むことです。これにより、使用できる数学ツールの選択肢が豊富になります。したがって、私の答えを修正します：実際の分析が自然に表示されるフィールド（グラフィック、信号処理、および物理世界を模倣または相互作用する他のフィールド）以外に、それは基本的にどこにでも、そしてそれがなかった場所にポップアップします-私将来的にはそうなると思います。

簡単な例：

1. エラー修正コード：リードソロモンコードは多項式を使用します。コードの境界には、コードのインジケーター関数を離散立方体から実数への関数として表示することが含まれるため、フーリエ変換などの手法が適用されます。
2. 確率的手法-濃度定理の測定（分析ツール）は、ランダムグラフのさまざまな特性（色数など）を示すために使用されます。アロンとスペンサーの本を参照してください。

3. 交差定理（これはより組み合わせ論に関連していますが、とにかく）-グラフ $v$ 頂点と $e$ エッジには少なくとも $\frac {1}{61} \cdot \frac {e^3} {v^2}$交差点。証明には、ランダムグラフの取得と、導出によるパラメーターの最適化が含まれます。

4. シャミールの秘密共有は、非ゼロ度という事実を使用しています$k-1$ 多項式は一意に定義されます $k$ ポイント（それは、 $k-1$ ポイントは事実上ゼロの情報を提供します）。

ネックレスの分割に関するノガアロンの定理が正しく思い出せば、問題の連続バージョンが使用されます。

参照：http : //www.cs.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/nocon.pdf

また、次のWikiページにもそのことが記載されています：http : //en.wikipedia.org/wiki/Hobby%E2%80%93Rice_theorem

リソース限定メジャーのフィールドは、ルベーグのメジャーを複雑度クラスに適用します。アイデアは、これらのセットの相対的な「サイズ」について話すことにより、複雑性クラス間の分離を取得することです。

美しい論文があります。量子ワンウェイコミュニケーションは、Boaz KlartagとOded Regevによる古典的コミュニケーションより指数関数的に強力です。（非離散）単位球上の不等式

単調実回路のサイズの指数関数的下限（1997）、Haken、Cook

私はいつも、正規/文脈自由言語と関数理論（（形式）べき級数）の関係は非常に刺激的だと感じました。それが、フランス語がこれらの言語クラスを「合理的」および「代数的」と呼ぶ理由です。これは、フラクタルジオメトリへの接続も示します。同様の方法で、たとえば、有限オートマトンは、標準のメトリックトポロジを備えている場合に、優れたトポロジ特性を持つ無限ワード上の言語を定義する場合があります。

別の接続は、フーリエ変換から知られているものに類似したいくつかのアルゴリズムを高速化することを可能にする「集合たたみ込み」の最近開発された理論かもしれません。これらは少なくとも「インスピレーションの類似点」だと思います。