理論計算機科学

次のような定理を探しています。可逆マルコフ連鎖のカバータイムが小さい場合、スペクトルギャップは大きくなります。ここで、スペクトルギャップは意味します。λ 2 | 1 − | λ2|1−|λ2|1-|\lambda_2|つまり、チェーンの最小固有値を無視します。 O （n ログn ）O（んログ⁡ん）O(n \log n)1 − 最大（| λ2| 、 | λん| ）1−最高（|λ2|、|λん|）1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)ん− 1ん−1n^{-1} 直感的には、グラフのすべての頂点をすばやくカバーできれば、混合時間が短くなるはずです。特に、ん2ん2n^2時間でグラフのすべての頂点をカバーできる場合、確かに、たとえばn ^ {-1000}のスペクトルギャップを除外できるはずん− 1000ん−1000n^{-1000}です。 短いカバータイムと大きなスペクトルギャップの間の影響を壊す可能性のある障害の1つは、2部構成性です。2部構成グラフでは、固有値が-1の小さなカバータイムを持つことができます− 1−1-1。私の質問では、最小の固有値を無視することでこの問題を回避しています。

9 ds.algorithms  pr.probability  random-walks 

（言語アプリケーションの）混合した支持体/依存関係グラフを描画するアルゴリズムを探しています。このようなグラフには、2種類の頂点（トークン、ノード）と2種類のエッジ（階層型、非階層型）があります。 私は一般にグラフ理論とアルゴリズムに慣れていないので、この質問がこのサイトの研究レベルの要件などと衝突しないことを願っています。ただし、一般的にはcstheoryの範囲内である必要があります。 すべてのトークンは同じy座標で表示される必要があり、トークンをグループ化するノードやノードを構成要素にグループ化するy座標を動的に計算する必要があるため、グラフはボトムアップで描画する必要があります（私はそう思います）。たとえば、トークンへの最長パスを介して。 階層的なエッジ（トークン/ノードを構成要素にグループ化するために使用）には、最小数のベンドポイント（理想的には0）が必要ですが、交差の数も最小である必要があり、必要に応じて前の要件を上書きします。 非階層エッジ（依存関係に使用）には、最小数の交差があり、ベジェ曲線として描画される必要があります。 私が遭遇した次善の事は、ブッフハイム等によって記述されたアルゴリズムです。、ウォーカーのアルゴリズムを線形時間で実行するように改善しました。 私の質問を改善する必要がある場合は、私に知らせてください。ポインタについては、事前に感謝します。 編集： コメントで指摘したように、基本的にはアルゴリズムによるデフォルトのグラフレイアウトが必要であり、長期的にはEclipse GEFの可能性の範囲内で編集および修正する必要があることを述べておきます。以前にGraphvizをGEFで動作させるためのオプションを検討しましたが、GEFから継承されたすべての編集機能を保持する実用的なソリューションはないようです。

9 ds.algorithms  graph-algorithms  cg.comp-geom  graph-drawing 

私はこの問題をMathOverflowで質問しましたが、満足のいく答えはありませんでした。 Winnerと呼ばれるカードゲームを簡略化した次の2人用ゲームを考えてみましょう。（次の定式化は、MathOverflowに関するGuillaume Brunerieのコメントから引用されました。） AとBの2人のプレーヤーがいます。各プレーヤーにはカードのセット（サブセット）があり、両方のプレーヤーから見ることができます。ゲームの目的は、自分のカードを取り除くことです。最初のプレイヤーはテーブル上のカードをプレイし、次に他のプレイヤーは（厳密に）より大きなカードをプレイする必要があります。その後、テーブル上のカードは捨てられ、他のプレイヤーは再び任意のカードをプレイすることから始めます（その後に大きなカードが続きます）。そして、2人のプレイヤーのうちの1人がカードを使い果たしてゲームに勝つまで続きます。{1,…,n}{1,…,n}\{1,\dots,n\} プレイヤーにとって最高の戦略を知りたい（彼が勝てる場合）。 正式な定義 示す最初のプレーヤのカードのセットがあるゲームの構成、第二のプレーヤーのカードのセットである、及びテーブル上の最大のカードである、テーブルにカードがないことを意味します。最初のプレーヤーが構成勝利戦略を持っているかどうかを指定して、アルゴリズムに指定して計算したいと思います。w(i,A,B)w(i,A,B)w(i,A,B)AAABBBiiii=0i=0i=0i,A,Bi,A,Bi,A,Bw(i,A,B)w(i,A,B)w(i,A,B) 正式には、次のように定義された関数を計算するアルゴリズムが必要です。fff ましょう、。Zn={1,2,⋯,n}Zn={1,2,⋯,n}\mathbb{Z}_n = \left\{1, 2, \cdots, n\right\}Bool={False,True}Bool={False,True}\mathrm{Bool} = \left\{\mathrm{False}, \mathrm{True}\right\} 関数f:{0,1,⋯,n}×2Zn×2Zn→Boolf:{0,1,⋯,n}×2Zn×2Zn→Boolf:\;\left\{ 0, 1, \cdots, n \right\} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \to \mathrm{Bool} where f(i,A,B)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪FalseTrueTrueFalseB=∅B≠∅∧∃j∈A:j>i,f(j,B,A−{j})=FalseB≠∅∧f(0,B,A)=Falseotherwisef(i,A,B)={FalseB=∅TrueB≠∅∧∃j∈A:j>i,f(j,B,A−{j})=FalseTrueB≠∅∧f(0,B,A)=FalseFalseotherwise f ( i, A, B ) = \begin{cases} \mathrm{False} & B = \emptyset \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset …

9 gt.game-theory  card-games 

D S P A C E （n ）に含まれていることがわかっているNP完全問題（、S U B S E T S U Mなど）があります。準線形空間についてはどうですか？SATSAT \mathsf{SAT} SUBSETSUMSUBSETSUM \mathsf{SUBSETSUM} DSPACE(n)DSPACE(n) \mathsf{DSPACE(n)} 準線形非決定性空間で既知のNP完全（またはNP中間）問題はありますか？

9 cc.complexity-theory  np-hardness  nondeterminism  np-intermediate 

これは数学SEフォーラムで私が尋ねた質問であり、ここで紹介されました。だからここに質問があります 私は正式な数学と理論的なコンピュータサイエンスの両方の初心者です。質問が適切に構成されていない場合は、ご容赦ください。オブジェクト指向モデリングは、現実の世界をシミュレーションするときに複雑な相互作用を定義するのに非常に役立ちます。しかし、それは主にプログラミングで使用されます。数学にも同じような考え方があるのか​​と思っていました。プログラミングをしているとき、「オブジェクト」と「オブジェクト指向プログラミング」の概念を理解し、それを実装するだけです。しかし、集合論の観点から「オブジェクト」の正式な定義はありますか？それとも、他の正式な数学理論はありますか？ 3つの主要なオブジェクト指向モデリングの概念を実装/正式に定義できますか？1.カプセル化2.継承3.多態性 質問が広すぎることは承知していますが、これらの概念をよりよく理解できるように、いくつかの指針も提供していただければ幸いです。

9 pl.programming-languages  semantics  formal-modeling  set-theory  object-oriented 

タイトルごとに、汎用LPソルバーを使用する以外に、不等式がの形式を持つ変数で不等式のシステムを解くためのアプローチがあります？のべき集合のメンバーの合計に対して全順序を形成する不等式の特別な場合はどうですか？Σ I ∈ I X 、I &lt; Σ J ∈ J X J { X I、··· 、X K }バツ私、… 、xkxi,…,xkx_i, \ldots, x_kΣ私∈ 私バツ私&lt; ∑J ∈ Jバツj∑i∈Ixi&lt;∑j∈Jxj\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j{ x私、… 、xk}{xi,…,xk}\{x_i, \ldots, x_k\}

9 ds.algorithms  linear-algebra  linear-programming 

前の質問「ビクリクを見つけるためのパラメタライズドアルゴリズム」では、頂点グラフで -biclique を見つけるための高速パラメタライズドアルゴリズムがあるかどうかを調べ、FPT wrt場合は開いていることを学びました。 -bicliques をカウントする場合も同じですか、またはこれが＃W -hard wrt（または他の硬度の概念）であることがわかっていますか？k×kk×kk\times knnnkkkk×kk×kk\times kW\[1\]W\[1\]W\[1\]kkk 私はそのカウントを知っ誘発 -bicliquesは＃です -hard、セクション4.5で誘発biclique見つけるための簡単な削減拡大セルジュGaspers'論文を。k×kk×kk\times kW\[1\]W\[1\]W\[1\]

9 cc.complexity-theory  graph-theory  counting-complexity  parameterized-complexity 

ノードのグラフがあるとします。各ノードにまたはいずれかを割り当てます。これを構成呼びます。割り当てる必要があるの数は正確に（したがっての数はです。）構成与えられた場合、各ノードを調べ、隣接ノードに割り当てられた値を合計して、次のように呼び出します。 this。次に、が非負であるノードの数をカウントします： nn+1+1−1−1σ∈{+1,−1}n\sigma \in \{+1,−1\}^n+1+1ss−1−1n−sn−sσ\sigmaiiξi(σ)\xi_i(\sigma)ξi(σ)\xi_i(\sigma)N(σ):=∑i=1n1{ξi(σ)≥0}.N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}. 問題は、を最大化する構成は何ですか？さらに重要なことに、s / nの観点から範囲を指定できますか。この問題が誰にも馴染みのあるものに見えるのか、それともグラフ理論の既知の問題に還元できるのか疑問に思っています。それが役立つ場合、グラフはErdős-Renyi型のランダム（たとえば、エッジ確率p〜（\ log n）/ nの G（n、p）、つまり、平均次数が\ log nとして増加する）であると想定できます。主な関心事は、s / n \ in（0,1 / 2）の場合です。σ\sigmaN(σ)N(\sigma)(maxN)/n(\max N)/ns/ns/np (logn)/np ~ (\log n)/nlogn\log ns/n∈(0,1/2)s/n \in (0,1/2)

9 graph-theory  co.combinatorics  optimization 

編集：この投稿に関連するフォローアップ質問があります。 定義 ましょうcccとkkk整数であるが。我々は、表記法を使用する[ I ] = { 1 、2 、。。。、私}[i]={1,2,...,i}[i] = \{1,2,...,i\}。 c × cc×cc \times c行列M= （m私、j）M=(mi,j)M = (m_{i,j})であると言われているccc -to- kkk着色マトリックス以下が成立する場合： 我々は持っているmi,j∈[k]mi,j∈[k]m_{i,j} \in [k]すべてのためにi,j∈[c]i,j∈[c]i, j \in [c]、 すべてのi,j,ℓ∈[c]i,j,ℓ∈[c]i,j,\ell \in [c]、i≠ji≠ji \ne jとj≠ℓj≠ℓj \ne \ellについて、mi,j≠mj,ℓmi,j≠mj,ℓm_{i,j} \ne m_{j,\ell}ます。 私たちは、書きC ⇝ Kc⇝kc \leadsto kが存在する場合ccc -to-着色行列を。kkk 対角要素は無関係であることに注意してください。非対角要素のみに関心がありMMMます。 次の別の視点が役立つ場合があります。LET R（M、ℓ ）= {mℓ 、私：私≠ ℓ …

9 co.combinatorics  lower-bounds  dc.distributed-comp 

以下の投稿すべてにお詫び申し上げます。元々これを投稿するために間違ったフォーラムを選びました。しかし、これを完全に無駄にするのではなく、質問を真の「理論的コンピューターサイエンス」の問題になるように作り直しました。 問題：凹面の場合もそうでない場合もある単純なポリゴンAの輪郭を形成する、2D平面内の一連のn個の順序付けられた点を取るアルゴリズムを作成し、次のようなm個の点を持つ新しいポリゴンBを作成します。 AのすべてのポイントはB内に含まれます 3 &lt;= m &lt;n Bは、最小の面積を持つすべてのBのセット内のポリゴンです。 Bは単純なポリゴンでなければなりません（つまり、自己交差はありません）。 アルゴリズムへの入力は、ポリゴンAと "m"です。 BのセグメントとAのセグメントの一致は許可されます。 入力と期待される出力の例： Aが正方形でmが3の場合、BはAを含む最小の表面積を持つ三角形になります。 Aが六角形でmが4の場合、BはAを含む最小の表面積を持つ四辺形になります。 この問題を試すすべての人に幸運を。特にソリューションが最適でなければならない今、これが非常に難しいことをお約束します。

9 ds.algorithms  cg.comp-geom  polygon 

ましょう属の配向コンパクト表面に埋め込まれたグラフであるG埋め込みが携帯されるようになっています。グラフG ∗の双対について考えます。LET C 1及びC 2は、で互いに素サイクルであるG *互いに同位置でありせE 1及びE 2はでそれらの対応するエッジ集合であるGそれぞれ。あるG ∖ （E 1 ∪ E 2）切断されたグラフは？GGGgggG∗G∗G^*C1C1C_1C2C2C_2G∗G∗G^*E1E1E_1E2E2E_2GGGG ∖ （E1∪ E2）G∖(E1∪E2)G \setminus (E_1 \cup E_2)

9 graph-theory  co.combinatorics  topological-graph-theory 

以下のセット系のVC次元を探しています。 宇宙ようにU ⊆ R 3。設定されたシステムでRの各集合S ∈ Rの対応における球にR 3、その結果セットは、Sは、の要素含まUの場合、対応する球体は、それが含まれている場合にのみ、R 3。U={p1,p2,…,pm}U={p1,p2,…,pm}U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}U⊆R3U⊆R3U\subseteq \mathbb{R}^3RR\mathcal{R}S∈RS∈RS\in \mathcal{R}R3R3\mathbb{R}^3SSSUUUR3R3\mathbb{R}^3 私がすでに知っている詳細。 VC次元は少なくとも4です。これは、が四面体の4つのコーナーである場合、Rによって粉砕できるためです。p1,p2,p3,p4p1,p2,p3,p4p_1,p_2,p_3,p_4RR\mathcal{R} VC次元は最大5です。これは、セットシステムを埋め込むことができ、R 3の球がR 4の超平面に対応するためです。R dの超平面はVC次元d + 1を持つことが知られています。R4R4\mathcal{R}^4R3R3\mathcal{R}^3R4R4\mathcal{R}^4RdRd\mathcal{R}^dd+1d+1d+1

9 cg.comp-geom  machine-learning  vc-dimension 

してみましょう単位正方形こと。 βの関数として、Sと交差できる直径が1以上のβ脂肪ペアワイズ領域の最大数はいくつですか？SSSββ\betaββ\betaSSS 以下に、我々はのためにすることを示す図与える、最大数は何のために約7であるβ = 2 、3 、... 、nは？β= 1β=1\beta=1β= 2 、3 、... 、n個β=2、３、…、ん\beta = 2, 3, \ldots, n 平面内の領域の脂肪の定義を思い出してください。領域与えられた場合、半径r 1の円C 1をRに含まれる最大の円とし、半径r 2の円C 2をRを含む最小の円とします。肥満のRは、によって与えられる。R 2RRRC1C1C_1r1r1r_1RRRC2C2C_2r2r2r_2RRRRRR、我々はと言うRがであるβため、-fatβ=R2r2r1r2r1\frac{r_2}{r_1}RRRββ\beta。β= r2r1β=r2r1\beta = \frac{r_2}{r_1} たとえば、場合、領域は単位円であり、互いに重なり合うことなくと重なり合うことができる少なくとも１つの直径を有する７つの円がある。下の図では、単位正方形と、正方形に重なる7つの単位円を示しています。r2= r1=12r2=r1=12r_2 = r_1=\frac{1}{2}SSS

9 cg.comp-geom 

ではグラフィックTSP、あなたは重み付けされていない無向グラフ与えられ、ゴールは最短ツアー見つけることである訪問し、すべての頂点ことを少なくとも一回。これはハミルトニアン回路を見つけることと同じではないことに注意してください。私の質問は：GGGGGGGGG 制限付きツリー幅グラフのグラフィックTSPの複雑さは何ですか？ 自明でない多項式時間アルゴリズムを使用するGraphic TSPの特別なケースはありますか？

9 ds.algorithms  treewidth  tsp 

特定のプロパティを満たす（任意のサイズの）セパレータを見つけることの複雑さに関する既知の結果はありますか？ クリークセパレーターを見つけるのは簡単（多項式時間）であることを知っています。また、多くの論文では、小さいセパレーター、またはサイズの連結成分を最大で元のグラフのサイズの数分の1にするセパレーターを見つける問題を考慮していることを知っています。しかし、他のプロパティを持つセパレータが必要な場合、たとえば、3分割、2分割、または2接続のセパレータが必要な場合はどうでしょうか。決定がNP困難なプロパティを作成することも簡単であるため、PケースとNPCケースを区別すると興味深いでしょう。 編集：（このウェブサイトのユーザーではない）誰かが、プロパティが「ユニバーサル頂点を持っている」場合は多項式であり、プロパティが「独立セットを誘導する」または「完全を誘導する場合はNP完全である二部グラフ」。

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