カードゲームの勝者の簡易版

私はこの問題をMathOverflowで質問しましたが、満足のいく答えはありませんでした。

Winnerと呼ばれるカードゲームを簡略化した次の2人用ゲームを考えてみましょう。（次の定式化は、MathOverflowに関するGuillaume Brunerieのコメントから引用されました。）

AとBの2人のプレーヤーがいます。各プレーヤーにはカードのセット（サブセット）があり、両方のプレーヤーから見ることができます。ゲームの目的は、自分のカードを取り除くことです。最初のプレイヤーはテーブル上のカードをプレイし、次に他のプレイヤーは（厳密に）より大きなカードをプレイする必要があります。その後、テーブル上のカードは捨てられ、他のプレイヤーは再び任意のカードをプレイすることから始めます（その後に大きなカードが続きます）。そして、2人のプレイヤーのうちの1人がカードを使い果たしてゲームに勝つまで続きます。 $\{1,\dots,n\}$

プレイヤーにとって最高の戦略を知りたい（彼が勝てる場合）。

正式な定義

示す最初のプレーヤのカードのセットがあるゲームの構成、第二のプレーヤーのカードのセットである、及びテーブル上の最大のカードである、テーブルにカードがないことを意味します。最初のプレーヤーが構成勝利戦略を持っているかどうかを指定して、アルゴリズムに指定して計算したいと思います。 $w(i,A,B)$ $A$ $B$ $i$ $i=0$ $i,A,B$ $w(i,A,B)$

正式には、次のように定義された関数を計算するアルゴリズムが必要です。 $f$

ましょう、。 $\mathbb{Z}_n = \left\{1, 2, \cdots, n\right\}$ $\mathrm{Bool} = \left\{\mathrm{False}, \mathrm{True}\right\}$

関数 $f:\;\left\{ 0, 1, \cdots, n \right\} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \to \mathrm{Bool}$

where

f (i, A, B) = {\begin{cases} F a l s e & B = \emptyset \\ T r u e & B \neq \emptyset \land \exists j \in A : j > i, f (j, B, A - {j}) = F a l s e \\ T r u e & B \neq \emptyset \land f (0, B, A) = F a l s e \\ F a l s e & otherwise \end{cases}

$f ( i, A, B ) = \begin{cases} \mathrm{False} & B = \emptyset \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land \exists j \in A: j > i, f(j, B, A - \left\{j\right\}) = \mathrm{False} \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land f(0, B, A) = \mathrm{False} \\ \mathrm{False} & \textrm{otherwise} \end{cases}$

間違った戦略

ここにいくつかの間違った戦略があります：

常に最小のカードをプレイします。ましょう、構成におけるプレイヤAの勝利戦略カードプレイする。プレーヤーAがカード1をプレイすると、負けます。 $n = 3, A = \{1,3\}, B = \{2\}$ $w(0, A, B)$ $3$
他のプレイヤーが1枚のカードを持っていない限り、最小のカードをプレイします。これは戦略1よりも強力な戦略ですが、それも間違っています。構成についてのみ考えてください。プレーヤーAが戦略2を使用する場合、彼は負けます：、つまりプレーヤーAは負けます。 $w(0, \{1, 4, 6, 7\}, \{2, 3, 5, 8\})$ $1\rightarrow2\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8\rightarrow\textrm{pass}\rightarrow3$

gt.game-theory card-games

— Yai0Phah
ソース

この質問は興味深いですが、できるだけ読みやすくしてください。たとえば、Guillaume Brunerieのコメントをそのままコピーする必要はありません。「プレイヤーには知っておくべきAだと思います...」の部分を含めます。これは、質問の前提とは異なり、読者を混乱させるだけです。また、3番目の最初の定式化を削除することを検討してください。2番目の定式化は直感的な理解を提供し、3番目は形式的な定義を提供します。

— 伊藤剛

おそらくこれを分析する最良の方法は、任意の位置の最適な動きを見つけ出し、パターンを探すプログラムを書くことです。このゲームに優れた戦略が必要なアプリオリな理由はありません。

— Peter Shor

私は少数のカードで戦略を開始し、そこから取り組みます。たとえば、各プレーヤーに2枚のカードがある場合、次のターンのプレーヤーに関係なく、カードが最も高いプレーヤーが勝ちます。彼は最高のカードをプレイし、他のプレイヤーはパスしなければならず、そして最後のカードをプレイします。

— Joe

誰かが私が追記1に従うためにGBの説明を書き直すのを手伝ってくれる？私がネイティブスピーカーではなく、そのような複雑なゲームを説明するのは私の能力ではありません。

— Yai0Phah

@Tsuyoshi：プレーヤーAが常に最小のカードをプレイした場合、プレーヤーBが勝利します。プレーヤーAがカード1をプレイし、常に最小のカードをプレイするとは限らない場合、プレーヤーAが勝つことができます。これは、戦略2が常に勝つことに対する小さな反例があることを意味します。

— Peter Shor

これはおそらくコメントになるはずですが、長すぎます。

関連するゲームは、ジェフ・カーン、ジェフ・ラガリアス、ハンス・ヴィッテンハウゼンによって、一連のシングルスーツ2人カードプレイI、II、III、およびOn Laskarのカードゲームで研究されました。彼らが調査したゲームでは、各プレーヤーはカードを持ち、番号が付いたカードから配られました。各トリックは2枚のカードで構成され、上位のカードがトリックに勝ち、勝者がリードします。目的は、ほとんどのトリックを取ることです。 $n$ $2n$ $1$ $\ldots$ $2n$

彼らは、最適な戦略に関する多くの興味深い事実を証明しましたが、最適なプレイのための効率的なアルゴリズムを見つけることができず、それがNP難しいことを証明することもできませんでした。

misèreの一人一人が、トリックの最小数を取るしようとしたゲーム、彼らは最適な戦略を与えることができました。

ほとんどの場合、これらの結果は、小さなインスタンスに最適な戦略を見つけたコンピュータープログラムの結果を最初に見て、次に推測を取得するためのパターンを探し、最後にこれらの推測を証明することによって得られました。これもOPのゲームを成功させるための実りあるアプローチになると思います。

— ピーター・ショー
ソース