「着色マトリックス」の存在

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定義

ましょう $c$ と $k$ 整数であるが。我々は、表記法を使用する $[i] = \{1,2,...,i\}$ 。

$c \times c$ 行列 $M = (m_{i,j})$ であると言われている $c$ -to- $k$ 着色マトリックス以下が成立する場合：

我々は持っている $m_{i,j} \in [k]$ すべてのために $i, j \in [c]$ 、
すべての $i,j,\ell \in [c]$ 、 $i \ne j$ と $j \ne \ell$ について、 $m_{i,j} \ne m_{j,\ell}$ ます。

私たちは、書き $c \leadsto k$ が存在する場合 $c$ -to-着色行列を。 $k$

対角要素は無関係であることに注意してください。非対角要素のみに関心があり $M$ ます。

次の別の視点が役立つ場合があります。LET $R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}$ 行における非対角要素の集合である $\ell$ 、同様せ $C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}$ カラム中の非対角要素の集合である $\ell$ 。ここで、 $M$ は $c$ から $k$ カラー行列iffです。

R (M, ℓ) \subseteq [k], C (M, ℓ) \subseteq [k], R (M, ℓ) \cap C (M, ℓ) = \emptyset

$R(M,\ell) \subseteq [k], \quad C(M,\ell) \subseteq [k], \quad R(M,\ell) \cap C(M,\ell) = \emptyset$ 全てについて

ℓ \in [c]

$\ell \in [c]$ 。つまり、行

ℓ

$\ell$ と列は異なる要素で構成されて

ℓ

$\ell$ 必要があります（もちろん、対角線を除く）。

をからまでの特別な種類のハッシュ関数として解釈することが役立つ場合とそうでない場合があります。 $M$ $[c]^2$ $[k]$

例

ここに対カラーリングマトリックスがあります： $6$ $4$

[\begin{matrix} - & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ ３ & - & ３ & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & - & 1 & 1 & 1 \\ ３ & 2 & 2 & - & ３ & 2 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & - & 2 \\ ３ & 4 & ３ & 4 & ３ & - \end{matrix}] 。

$\begin{bmatrix} -&2&2&1&1&1\\ 3&-&3&1&1&1\\ 4&4&-&1&1&1\\ 3&2&2&-&3&2\\ 4&2&2&4&-&2\\ 3&4&3&4&3&- \end{bmatrix}.$

一般的には、いずれかのことが知られている我々が持っている $n \ge 2$ 例えば、及び。これを確認するには、次の構造を使用できます（例：Naor＆Stockmeyer 1995）。

（ \binom{2 ん}{ん} ） ⇝ 2 ん 。

${2n \choose n} \leadsto 2n.$

20 ⇝ 6

$20 \leadsto 6$

6 ⇝ 4

$6 \leadsto 4$

ましょうとし、ます。ましょうから全単射であるすべてのセットにの-subsets、である、とfor all。それぞれについてと $c = {2n \choose n}$ $k = 2n$ $f$ $[c]$ $n$ $[2n]$ $f(i) \subseteq [2n]$ $|f(i)| = n$ $i$ $i,j \in [c]$ $i \ne j$ 、選択した任意

{メートル}_{私 、 j} \in f （ 私 ） ∖ f （ j ） 。

$m_{i,j} \in f(i) \setminus f(j).$

ことに注意してください。構造が実際にカラーリングマトリックスであることを確認するのは簡単です。特に、我々はおよび。 $f(j) \setminus f(i) \ne \emptyset$ $R(M,\ell) = f(\ell)$ $C(M,\ell) = [k] \setminus f(\ell)$

質問

上記の構造は最適ですか？そうでなければ、いずれかのために？

（ \binom{2 ん}{ん} ） + 1 ⇝ 2 ん

${2n \choose n} + 1 \leadsto 2n$

n \geq 2

$n \ge 2$

上記の構造が漸近的にタイトであることはよく知られています。必ずです。これは、例えば、Linial's（1992）の結果、またはラムジー理論の単純な適用によるものです。しかし、私にとっては、構造が定数まできついかどうかは明らかではありません。一部の数値実験では、上記の構成が最適である可能性があることを示唆しています。 $k = \Omega(\log c)$

動機

問題は、グラフの色付けのための高速分散アルゴリズムの存在に関連しています。たとえば、有向ツリー（すべてのエッジがルートノードの方向を向いている）が与えられていると想定し、ツリーの適切な色が与えられていると想定します。今適切な計算分散アルゴリズムが存在するのツリーの着色がの場合に限り、同期通信ラウンド。 $c$ $k$ $1$ $c \leadsto k$

co.combinatorics lower-bounds dc.distributed-comp

— ジュッカスオメラ
ソース

「別の視点」での表示数学では、[c]は[k]と読み替える必要があります。その次の行では、「for all l \ in [k]」は「for all l \ in [c]」となるはずです。

— 伊藤剛

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構造は $\binom{2n}{n}+1 \leadsto n$ $\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$ $c \leadsto k \iff c \le \binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$

— 伊藤剛
ソース

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R (M, i) \subseteq R (M, j)

$R(M,i) \subseteq R(M,j)$

m_{i, j} \in R (M, i) \subseteq R (M, j)

$m_{i,j} \in R(M,i) \subseteq R(M,j)$

C (M, j) \cap R (M, j) \neq \emptyset

$C(M,j) \cap R(M,j) \ne \emptyset$

0

少しきつい漸近線の場合、次のことが証明できます。

$c \leadsto k$ $c \leq 2^k$

$c \times c$ $k$ $[k]$ $i \lt j$ $i$ $j$ $(i,j)$ $j$ $j$ $c \leq 2^k$

— HBM
ソース

あなたの分析があなたの分析よりもタイトだと主張しているものはわかりませんが、正確な境界については私の答えを見てください。

— 伊藤剛