ランダムグラフを含む不一致のバリエーション

ノードのグラフがあるとします。各ノードにまたはいずれかを割り当てます。これを構成呼びます。割り当てる必要があるの数は正確に（したがっての数はです。）構成与えられた場合、各ノードを調べ、隣接ノードに割り当てられた値を合計して、次のように呼び出します。 this。次に、が非負であるノードの数をカウントします： $n$ $+1$ $−1$ $\sigma \in \{+1,−1\}^n$ $+1$ $s$ $−1$ $n−s$ $\sigma$ $i$ $\xi_i(\sigma)$ $\xi_i(\sigma)$

N (σ) : = \sum i = 1 n 1 {ξ i (σ) \geq 0} .

$N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}.$ 問題は、を最大化する構成は何ですか？さらに重要なことに、

観点から範囲を指定できますか。この問題が誰にも馴染みのあるものに見えるのか、それともグラフ理論の既知の問題に還元できるのか疑問に思っています。それが役立つ場合、グラフはErdős-Renyi型のランダム（たとえば、エッジ確率

G（n、p）、つまり、平均次数が

として増加する

と想定できます。主な関心事は、

です。

σ $\sigma$

N(σ) $N(\sigma)$

(maxN)/n $(\max N)/n$

s/n $s/n$

p (logn)/n $p ~ (\log n)/n$

logn $\log n$

s/n∈(0,1/2) $s/n \in (0,1/2)$

graph-theory co.combinatorics optimization

— 通行人51
ソース

私がタイトルを変更したのは、あなたが尋ねているのは範囲空間の不一致の問題に関連しているからです。ただし、グラフの不一致（エッジ密度の偏差についての詳細）とは関係ありません

— Suresh Venkat

単純な境界：をランダムに取ります。、ここでは頂点の次数、は定数です。したがって、です。言えば及びグラフである -regular、次いで存在ように、。

σ $\sigma$

Pr[ξi(σ)<0]≤exp(−Cδi(s/n−1/2)2) $\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$

δi $\delta_i$

i $i$

C $C$

E[N(σ)]≥∑i1−exp(−Cδi(s/n−1/2)2) $E[N(\sigma)] \geq \sum_i{1-\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$

s=3n/4 $s = 3n/4$

(16/C)logn $(16/C)\log n$

σ $\sigma$

N(σ)≥n−O(1) $N(\sigma) \geq n - O(1)$

— Sasho Nikolov、2012

@Suresh：ありがとう。それが私がコンピュータサイエンティストに尋ねることについて好きなことです、あなたは何か新しいことを学びます！それでは、範囲空間の不一致の問題について学ぶのに適した場所はどこですか？（たぶん、短い簡潔な紙ですか？）

— passerby51

@Sasho：ありがとう。何らかの理由で、方程式が正しく表示されません（それらは周囲のテキストと衝突しました。）私はそれを読んで、あなたに返答するように試みます。しかし、私にとって興味深いレジームはあり、問題はが近づくにつれて難しくなるようです。（これは、元の問題の対称性の考慮によるものです。）ランダムなを見ても、場合はそうはいきません。

s/n∈(0,1/2) $s/n \in (0,1/2)$

s/n $s/n$

1/2 $1/2$

σ $\sigma$

S / N ∈ （0 、1 / 2 ） $s/n \in (0,1/2)$

— passerby51

推測/希望は、場合、たとえばG（n、p）で、または。元の投稿のに関するタイプミスに気づきました。申し訳ありません。平均値はではなくとして増加してい。

（最大N)/n=o(1) $(\max N)/n = o(1)$

p (logn)/n $p ~ (\log n) / n$

p (logn)1+ϵ/n $p ~ (\log n)^{1+\epsilon} /n$

p $p$

logn $\log n$

p $p$

— passerby51 2012年

回答:

これには、「二次モーメント法」の計算でアプローチできます。これは、ランダム制約充足問題の鋭いしきい値、Discrete Mathematics 285 / 1-3（2004）、301-305で使用したものと似ています。

平均次数が定数倍のように大きくなる、このアプローチは、充足可能性のしきい値を正確に見つけるのに十分であることがよくあります。調査はしていませんが、満たされない場合に満たすことができる句の割合を示すこともできます。 $\log n$

あなたの問題を私の一般的な問題のように見せるために、CNF式の句の基礎となる特別なグラフィック構造を持つ「MAX-AT-LEAST-HALF-SAT」としてそれを表示できます。しかし、この特別な構造が最悪のケースの分析に役立つとは思いません。また、句のサイズが不均一であり、「悪い」割り当てセットが大きくなっているので、計算を行ってそれを確認する必要があります。まだ動作します。

— アブラハムDフラックスマン
ソース

これをCSPとして見ると、実際には不一致の問題として見るよりも適切です

— Sasho Nikolov

ありがとうございました。これは非常に興味深いようです。私はそれを徹底的に調べます。

— passerby51

コメントについて詳しく説明します。まず、これは不一致に似ていますが、もちろんいくつかの点で異なります。セットのシステム与えられた場合、システムの差異は。示しましょう。定義は、が正であるセットの数を知りたいという点で異なり、不一致は、最悪の場合の大きさを尋ねます。簡単な紹介のために、多分私の筆記ノートが役立つかもしれません。Chazelleは、細部に渡る素晴らしい本を持っています。 $m$ $S_1, \ldots, S_m \subseteq \{1, \ldots n\} = [n]$ $\min_{\sigma:[n] \rightarrow \{\pm 1\}}{\max_{j}{|\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|}}$ $\sigma(S_j) = |\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|$ $\sigma(S_j)$ $\sigma(S_j)$

私のコメントのように、簡単な確率的下限の場合、次数列グラフを指定すると、ランダムに均一に選択できます持つすべてのシーケンスから（は独立していないが、この場合もチェルノフ限界を証明できる可能性がある）。我々はと、チャーノフが結合することにより、定数。したがって、です。したがって、いくつかのが存在します $s > n/2$ $G = ([n], E)$ $\delta_1, \ldots, \delta_n$ $\sigma$ $s$ $1$ $\sigma_i$ $E[\xi_i(\sigma)] = \delta_i s/n$ $\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$ $C$ $E[N(\sigma)] \geq n - \sum_i{\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$ $\sigma$ それはこの限界を達成します。

編集：場合に興味があるようです。前の段落と同じ方法でをランダムに選択しましょう。置換なしのサンプリングに中心極限定理のバージョンを使用すると（はグラフの頂点からの置換なしのサイズサンプル）、が平均のガウスのように動作することを示すことができるはずですおよびに関する分散なので、、いくつかのCおよび中心極限定理から誤差パラメータ。我々は持つべき $s < n/2$ $\sigma$ $\sigma$ $s$ $\xi_i(\sigma)$ $\delta_i (2s/n - 1)$ $\delta_i$ $\Pr[\xi_i(\sigma) \geq 0] =\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2) \pm \eta(n)$ $\eta(n)$ $n\eta(n) = o(n)$ なので、を取ることができます。 $N(\sigma) \geq \sum_{i}{\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2)} - o(n)$

免責事項：これは、が定数/小さいか、またはがに非常に近い場合にのみ意味があります。また、計算はある程度ヒューリスティックであり、慎重に行われていません。 $\delta_i$ $s/n$ $n/2$

— サショニコロフ
ソース

素敵なリンクと議論をありがとう。私は確率論的議論が好きですが、あなたの限界に問題があると思います。あなたは、設定により、これを見ることができ、我々が持っているべきために、。これが問題の原因だと思われます。問題で指定されたセットからをランダムに均一に選択すると、各があります。であることのとPROB。のはです。したがって、これは ... に対して負です...

s=0 $s = 0$

Pr[ξi(σ)<0]=1 $Pr[\xi_i(\sigma) < 0] = 1$

σ $\sigma$

σj $\sigma_j$

γ:=s/n $\gamma := s/n$

+1 $+1$

1−γ $1-\gamma$

−1 $-1$

E[ξi(σ)]=(2γ−1)δi $E[ \xi_i(\sigma)] = (2\gamma-1) \delta_i$

γ∈(0,1/2) $\gamma \in (0,1/2)$

— passerby51

独立し、厳密に我々はHoeffdingの不平等を言って使用することはできません話すことはありません。しかし、このマイナーな詳細を無視して、それらをiidと仮定しましょう。そうすると、境界はは当てはまり。を取得するためにを設定することはできません。

{σj} $\{\sigma_j\}$

Pr[1δiξi(σ)<−t+2γ−1)≤exp(−δit2/2) $Pr[ \frac{1}{\delta_i} \xi_i(\sigma) < -t + 2\gamma - 1) \le \exp ( -\delta_i t^2/2)$

t≥0 $t \ge 0$

t=2γ−1<0 $t = 2\gamma - 1 < 0$

Pr[ξi(σ)<0] $Pr[\xi_i(\sigma) <0]$

— passerby51

申し訳ありませんが、私はそれを指定する必要がありました。ここでの前提はあるということでした。それ以外の場合、これは意味がなく、Berry-Esseenのような強力なものが必要です。は本質的に独立していると想定できると思います

s>n/2 $s > n/2$

σj $\sigma_j$

— Sasho Nikolov

@ passerby51は、中央限界定理の定量的バージョンを使用して確率限界をに拡張する方法を示すスケッチを追加しました。

s/n<1/2 $s/n < 1/2$

— Sasho Nikolov