正方形と重なる厚い領域の数を数える

してみましょう単位正方形こと。 関数として、交差できる直径が1以上の脂肪ペアワイズ領域の最大数はいくつですか？ $S$ $\beta$ $\beta$ $S$

以下に、我々はのためにすることを示す図与える、最大数は何のために約7である？ $\beta=1$ $\beta = 2, 3, \ldots, n$

平面内の領域の脂肪の定義を思い出してください。領域与えられた場合、半径円をに含まれる最大の円とし、半径円をを含む最小の円とします。肥満のによって与えられる。 $R$ $C_1$ $r_1$ $R$ $C_2$ $r_2$ $R$ $R$ 、我々はと言うであるため、-fat $\frac{r_2}{r_1}$ $R$ $\beta$ 。 $\beta = \frac{r_2}{r_1}$

たとえば、場合、領域は単位円であり、互いに重なり合うことなくと重なり合うことができる少なくとも１つの直径を有する７つの円がある。下の図では、単位正方形と、正方形に重なる7つの単位円を示しています。 $r_2 = r_1=\frac{1}{2}$ $S$

重なり合う円

cg.comp-geom

— ジョー
ソース

「少なくとも

同じ大きさの円」という条件は混乱を招きます。エリアについて話す場合、半径

円は

ほど大きくありません。また、

場合、

つの円（

の真ん中に1つ）を置くことができますが、私は愚かに間違っていますか？

S

$S$

1

$1$

S

$S$

r_{2} = r_{1} = 1

$r_2 = r_1 = 1$

7

$7$

S

$S$

— Yixin Cao

「厚い」の定義は、「脂肪」の標準的な定義の1つです。「Sと交差することができる、直径が1以上の厚いばらばらな領域の最大数」を意味していると思います。それ以外の場合、上限はありません。小さな円の厚さは1です。

— Jeffε2012

@Jɛﬀ Eはい、まさにそれが私が言おうとしていることです。明確にするために質問を編集します。

— ジョー

@YixinCao私はうまくいけば物事を明確にするはずの図を提供しました。

— ジョー

@ジョー私の写真が示すように、7つの円が可能です。ポイントは次のとおりです。2つの円は（ほぼ）2つの反対のポイントに接しています。私の描画は常に悪いですが、グラフが参考になれば幸いです。

— Yixin Cao

正方形と重なるペアワイズの分離した脂肪領域の最大数は、円のパッキングと強く関連していると思います。

リージョンの最悪の場合の形状は、「ボールとチェーン」のようなものです。以下では領域を示しています。 $\beta=2$

ボールチェーン。

これらは、ユニットスクエアの距離1の範囲内で、私が描写したものよりもはるかに密に詰まっている可能性があります。

ボールチェーンパッキング

実際のボールとチェーンの領域は緑の領域で定義されており、外側の円はこれらの領域に太りがあることを示すための単なるガイドであることに注意してください。実際、領域のチェーン部分はパックする領域を増やします。

ここに画像の説明を入力してください

— ジョー
ソース