可逆ランダムウォークのカバー時間とスペクトルギャップ

次のような定理を探しています。可逆マルコフ連鎖のカバータイムが小さい場合、スペクトルギャップは大きくなります。ここで、スペクトルギャップは意味します。λ 2 $1-|\lambda_2|$つまり、チェーンの最小固有値を無視します。

$O(n \log n)$$1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)$$n^{-1}$

直感的には、グラフのすべての頂点をすばやくカバーできれば、混合時間が短くなるはずです。特に、$n^2$時間でグラフのすべての頂点をカバーできる場合、確かに、たとえばn ^ {-1000}のスペクトルギャップを除外できるはず$n^{-1000}$です。

短いカバータイムと大きなスペクトルギャップの間の影響を壊す可能性のある障害の1つは、2部構成性です。2部構成グラフでは、固有値が-1の小さなカバータイムを持つことができます$-1$。私の質問では、最小の固有値を無視することでこの問題を回避しています。

大まかに言えば、混合時間は頂点の半分の最悪の場合のヒット時間です。 カバー時間は、頂点のすべてのサブセットがヒットしたときの停止時間です。つまり、常に混合時間よりも長くなります。したがって、あなたの例は、混合時間とカバー時間持つことはできません。 $n^{1000}$$n^2$

この直感を正確にするには、混合時間を固有値のギャップに関連付ける必要があり、頂点の半分ではなく定常分布の半分を取るなど、少し注意が必要です。これは難しいことではありません。LovaszとWinklerによるこの論文から始めてください。この論文では、上記のバージョンの混合時間を示し、それを全体のバリエーションにおけるより標準的な混合時間に関連付けています。 $\pi$