3次元の球のVC次元

以下のセット系のVC次元を探しています。

宇宙ようにU ⊆ R 3。設定されたシステムでRの各集合S ∈ Rの対応における球にR 3、その結果セットは、Sは、の要素含まUの場合、対応する球体は、それが含まれている場合にのみ、R 3。$U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$$U\subseteq \mathbb{R}^3$$\mathcal{R}$$S\in \mathcal{R}$$\mathbb{R}^3$$S$$U$$\mathbb{R}^3$

私がすでに知っている詳細。

1. VC次元は少なくとも4です。これは、が四面体の4つのコーナーである場合、Rによって粉砕できるためです。$p_1,p_2,p_3,p_4$$\mathcal{R}$

2. VC次元は最大5です。これは、セットシステムを埋め込むことができ、R 3の球がR 4の超平面に対応するためです。R dの超平面はVC次元d + 1を持つことが知られています。$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^3$$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^d$$d+1$

ここに簡単な議論があります：

$U$$S \subseteq U$$B$$B \cap U = S$$B'$$B' \cap U = U \setminus S$$B \cap B'$$U$$B \cap B' = \emptyset$$B$$B'$$B$$B'$$S$$U \setminus S$$U$

高次元での同じ議論は、ボールのVC次元がハーフスペースのVC次元に等しいことを示しています。

私の解決策は間違っています。他の回答を参照してください...