ビクリクを数えるパラメータ化された複雑さ

前の質問「ビクリクを見つけるためのパラメタライズドアルゴリズム」では、頂点グラフで -biclique を見つけるための高速パラメタライズドアルゴリズムがあるかどうかを調べ、FPT wrt場合は開いていることを学びました。 -bicliques をカウントする場合も同じですか、またはこれが＃W -hard wrt（または他の硬度の概念）であることがわかっていますか？$k\times k$$n$$k$$k\times k$$W\[1\]$$k$

私はそのカウントを知っ誘発 -bicliquesは＃です -hard、セクション4.5で誘発biclique見つけるための簡単な削減拡大セルジュGaspers'論文を。$k\times k$$W\[1\]$

これは、標準の補間引数によって#W [1] -hardでなければなりません。これは大まかなスケッチです。

まず、多色バージョンのビクリケ問題を考えます。頂点のセットがクラスに分割されているグラフが与えられた場合、各セットから正確に1つの頂点を含むビクリケを見つけます。FPTステータスがオープンであるBicliqueとは異なり、このマルチカラーバージョンはW [1]ハードであることが知られています。クリークから簡単に削減できます。私はそれも#W [1]難しいはずだと思います。$X_1,\dots, X_{2k}$

グラフ所与及び上記のように仕切り、私たちは新しいグラフ得るせてのすべての頂点置き換えることによってサイズの独立したセットで（との間の各エッジ交換及びすることによって bicliqueを）。これで、のビクリクの数は、変数関数になります。実際、この関数は最大で多項式であり、項の係数は、正確に多色のビクリクの数であることがわかります$G$$G'$$X_i$$x_i$$X_i$$X_j$$x_i\times x_j$$k\times k$$G'$$2k$$x_1,\dots,x_{2k}$$2k$$x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$$G$。したがって、十分な数の値の組み合わせを変数に代入し、のバイクリケの数を数えることで、補間によってその係数を回復するのに十分な数の場所でこの多項式を評価できます。$x_i$$G'$