バイクリークを見つけるためのパラメータ化されたアルゴリズム

$n$頂点の無向グラフが与えられた場合、k × k -bicliqueであるサブグラフを見つけるための最もよく知られているランタイムバインドは何ですか？bicliqueの片側を「推測」する時間アルゴリズムよりも高速なパラメータ化アルゴリズムがあり 、それらすべてに付随する頂点が少なくとも個あるかどうかを確認しますか？$k\times k$$\binom{n}{k}\mbox{poly}(n)$$k$

縮退または樹木形成によってパラメータ化されたFPTです。より具体的には、で、は縮退（またはarb3の場合は）です。見る：$O(d^3 2^d n)$$d$$a^3 2^{2a}$

• 樹枝状および二部のサブグラフリストアルゴリズム。D.エップスタイン。 Inf。手続き レット。51：207-211、1994。

別のパラメータ化された論文がSWAT 2012に受理されました。今回は最長の誘導パス長によってパラメータ化されています。

• Aistis Atminas、Vadim Lozin、Igor Razgon：長い誘導経路のないグラフの小さな二乗点を計算するための線形時間アルゴリズム。SWAT 2012、登場予定。

しかし、私の理解では、これがFPTであるかどうかが自然パラメータ（bicliqueのサイズ）であるかどうかは大きな未解決の問題です。

以下の論文は、非誘導biclique問題の指数時間アルゴリズムを提供しており、興味があるかもしれません。

• Daniel Binkele-Raible、Henning Fernau、Serge Gaspers、Mathieu Liedloff：bicliquesを見つけるための正確な指数時間アルゴリズム。Inf。処理する。レット。111（2）：64-67（2010）

• Jean-FrançoisCouturier、Dieter Kratsch：二色の独立集合
  と二乗クリーク。Inf。処理する。レット。112（8-9）：329-334（2012）

B. AmesとS. Vavasis（http://arxiv.org/pdf/0901.3348.pdf）によるこの近似「植え付けられたクリークおよびビクリケ問題の核ノルム最小化」は、ポリ-時間ですが、一般的な近似の保証はありません。

著者は、アビネ制約を条件として、biclique問題をランク最小化に再構成しました。次に、SDPとして提示できる核ノルムヒューリスティックを使用して緩和を解決します。このヒューリスティックは、圧縮されたセンシング機器の非常に刺激的なガジェットです。この緩和は、通常、制約のセットが「適切なタイプ」のランダム性を示すときに、いくつかのかわいい最適条件を受け入れます。

n頂点グラフでk×k bicliqueを見つけることは、（n / 2）頂点グラフでサイズkクリークを見つけることと同じくらい難しいことは注目に値します。単純に（n / 2）頂点グラフを取得し、そして、それを明白な方法で二部グラフに変換します（各頂点vはエッジで接続された2つの頂点v1、v2になり、各エッジ（u、v）は2つのエッジになります：（u1、v2）と（u2 、v1））。サイズkクリークを見つけることはW [1] -hardであるため、bicliqueを見つけることもW [1] -hardであるため、実行時間n o （k ）のアルゴリズムがないと推測されます。$n^{o(k)}$ます。