理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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「NP中間完全」問題はありますか？
P NP と仮定します。≠≠\ne ラドナーの定理は、NP中間問題（PでもNP完全でもないNPの問題）があると述べています。私はオンラインでいくつかのベールになった参考文献を見つけましたが、NPIには相互に還元可能な言語の多くの「レベル」があり、すべてが完全に1つになるわけではありません。 これらのレベルの構造についていくつか質問があります。 「NP-中間-完全」問題、つまり、他のすべてのNP-中間問題がポリタイム還元可能であるNP-中間問題はありますか？ NP-Pを同値類に分類します。相互還元性は同値関係です。ここで、これらの等価クラスに順序付けを課します。Bの問題がAの問題に帰着する場合、です（したがって、明らかにNP完全な等価クラスが最大要素です）。これは完全な順序付けですか（つまり、問題は無限の降順チェーンに配置されていますか）。そうでない場合、半順序の「ツリー構造」には有限の分岐係数がありますか？A>BA>BA > BBBBAAA NP-Pの他の興味深い既知の構造成分はありますか？基礎となる構造について興味深い未解決の質問はありますか？ これらのいずれかが現在不明である場合、私もそれを聞いて興味があります。 ありがとう！
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相対化不可能な証明の自然な例は何ですか？
私が理解しているように、P = NPまたはP≠NPであるという証明は、相対化不可能である必要があります（再帰理論のオラクルのように）。 ただし、事実上すべての証明は相対化可能のようです。 非の良い例は何ですかP = NP / P≠NP証明が必要な、相対論証明のですか？ （私は再帰理論家ではないので、引用の欠如をご容赦ください。） [編集：mathoverflowの投稿を改善]
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負のサイクルが存在する場合の最短経路を見つける
各エッジの重みが負になる可能性のある有向巡回グラフを考えると、「最短経路」の概念は負のサイクルがない場合にのみ意味があり、その場合、Bellman-Fordアルゴリズムを適用できます。 ただし、サイクリングを伴わない2つの頂点間の最短パスを見つけることに興味があります（つまり、同じ頂点に2回アクセスできないという制約の下）。この問題はよく研究されていますか？Bellman-Fordアルゴリズムのバリアントを使用できますか？ また、同等のすべてのペアの問題にも興味があります。それ以外の場合は、Floyd–Warshallを適用します。
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なぜ機械学習は素数を認識できないのですか？
大きさn、V_nの任意の整数のベクトル表現があるとします このベクトルは、機械学習アルゴリズムへの入力です。 最初の質問：どのタイプの表現に対して、ニューラルネットワークまたは他のベクトルからビットへのMLマッピングを使用して、nの素数性/複合性を学習することができます。これは純粋に理論的なものです-ニューラルネットワークのサイズには制限がない可能性があります。 次のような素数性テストにすでに関連している表現を無視しましょう。nの因子のヌル区切りリスト、またはMiller Rabinなどの複合性証人の存在。代わりに、異なる基数の表現、または（多変量）多項式の係数ベクトルとしての表現に注目しましょう。または他のエキゾチックなものが想定されています。 2番目の質問：表現ベクトルの詳細に関係なく、MLアルゴリズムの種類があれば、これを学習することは不可能ですか？繰り返しますが、上記の例が示されている「自明では禁止されている」表現は省略しましょう。 機械学習アルゴリズムの出力は、1ビット、素数の場合は0、複合の場合は1です。 この質問のタイトルは、質問1のコンセンサスが「不明」であり、質問2のコンセンサスが「おそらくほとんどのMLアルゴリズム」であるという私の評価を反映しています。これ以上のことは分からないので、私はこれを求めています。 この質問の主な動機は、ある場合、特定のサイズのニューラルネットワークでキャプチャできる素数のセットの構造に「情報理論」の制限があるかどうかです。私はこの種の用語の専門家ではないので、この考えを何度か言い直し、概念のモンテカルロ近似を得るかどうかを確認します。素数の集合のアルゴリズムの複雑さは何ですか？素数がディオファントイン再帰的に列挙可能であるという事実（および特定の大きなディオファントス方程式を満たすことができる）を使用して、上記の入力と出力を使用してニューラルネットワークの同じ構造をキャプチャできます。
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PPADのこれら2つの定義が同等なのはなぜですか？
通常、複雑度クラスPPADは、End-Of-The-LineがPPAD完全であることを示すことによって定義されます。 行末は検索の問題です。入力は、各ノードが度内外度最も1にグラフが多項式時間計算可能関数により与えられるた有向グラフから成るの先行および後続返しXを。さらに、後続ノードはあるが先行ノードがないノードvが与えられます。後続または先行のないノードt ≠ vを見つけます。f（x ）f（バツ）f(x)バツバツxvvvt ≠ vt≠vt\ne v 最近、PPADの別の定義を聞きました。私が思い出す限り、それは次の問題に基づいていました。 有向グラフ（再び多項式時間計算可能関数で指定）と、次数がその次数と等しくないノードが与えられます。このプロパティを持つ別のノードを見つけます。 明らかに、行末は後者の問題の特殊なケースですが、後者の問題を解決するのは本当に難しいですか？私の質問はこれです： 同じ複雑度クラスPPADで両方の問題が完了していますか？はいの場合、なぜですか？そうでない場合、2番目の問題から生じる複雑度クラスは何ですか？
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いくつかのグラフのゲーム
あるノードにチップがある有向加重グラフGGGで次のゲームを考えてみましょう。 GGGすべてのノードはAまたはBでマークされます。 アリスとボブの2人のプレーヤーがいます。アリス（ボブ）の目標は、チップをA（B）でマークされたノードにシフトすることです。 最初、アリスとボブはそれぞれmAmAm_AとmBmBm_Bドルを持っています。 プレーヤーが負けた場合（つまり、チップの現在の位置が反対の文字でマークされている場合）、プレーヤーはチップを隣接ノードに移動できます。そのような移動には、数ドルの費用がかかります（対応するエッジの重み）。 プレーヤーが負けの立場にあり、それを修正する資金がない場合、プレーヤーは負けます。 次に、すべての有向重み付きグラフGGG（すべての重みは正の整数です）、チップの初期位置、および単項表現で与えられるアリスとボブの首都で構成されるGAME言語を考えます。 アリスがこのゲームで勝利戦略を持っているように。 GAME言語はPに属します。実際、ゲームの現在の位置は、チップの位置とアリスとボブの現在の資本によって定義されるため、動的プログラミングが機能します（初期資本が単項表現で与えられていることが重要です）。 次に、このゲームの次の一般化を考えます。各グラフにチップがあるいくつかの有向加重グラフG1,…GnG1,…GnG_1, \ldots G_nを考えます。すべてのグラフのすべてのノードはAとBでマークされています。すべてのチップがBでマークされている場合はボブが勝ち、少なくとも1つのチップがAでマークされている場合はアリスが勝ちます。 アリスが対応するゲームで勝つように、すべてのグラフG1,…,GnG1,…,GnG_1, \ldots, G_n、初期位置、および資本mAmAm_AおよびmBmBm_B（単項表現）で構成される言語MULTI-GAMEを考えます。ここで重要なのは、すべてのグラフで大文字が共通であることであり、それはいくつかの独立したGAMEだけではありません。 質問マルチゲームという言語の複雑さは何ですか？（それもPに属しているのですか、それともこの問題が難しいことにはいくつかの理由がありますか？） UPD1の ニール・ヤングは、コンウェイの理論を使用することを提案しました。しかし、私はこの理論を共通資本を持ついくつかのゲームに使用することが可能であることを知りません。 UPD2マルチゲームがそれほど単純ではないことを示す例を示したいと思います。アリスが自分の資本mAmAm_Aをいくつかのnnn項に分割するとしますmA=a1+a2+…anmA=a1+a2+…anm_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n（彼女はi番目のグラフにiドルを使用aiaia_iます）。定義bは私になるように、最小限の数としてI番目のゲームボブの勝利アリスとボブが持っている場合は、私とbは、私はそれぞれドル。もしb 1 + … biiibibib_iiiiaiaia_ibibib_ib1+…bn&gt;mBb1+…bn&gt;mBb_1 + \ldots b_n > m_B（いくつかの分割ではmA=a1+a2+…anmA=a1+a2+…anm_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n）の場合、アリスが勝ちます。ただし、その逆は当てはまりません。次のグラフの2つのコピーを検討してください（最初はチップは左上Aにあります）。 1つのグラフでは、mA=0mA=0m_A=0およびmB=2mB=2m_B=2場合、またはmA=1mA=1m_A=1およびmB=3mB=3m_B=3場合にボブが勝ちます。ただし、このグラフのコピーが2つあるゲームでは、mA=1mA=1m_A=1およびmB=5mB=5m_B=5場合、ボブは負けます。実際、ボブは両方のチップをBでマークされたノードにシフトするために444ドルまたは555ドルを費やす必要があります。その後、アリスはAでマークされたノードに少なくとも1つのチップをシフトできます。その後、ボブは自分のポジションを保存するためのお金を持っていません。BBB UPD3任意のグラフの質問は難しいように見えるので、特定のグラフを検討してください。いくつかのグラフを示すノードGiGiG_iとして1,…k1,…k1, \ldots k。私の制限は次のとおりです。すべてのペアi&lt;ji&lt;ji<jについて、iiiからjjjへのエッジが存在し、逆のエッジはありません。また、エッジのコストには制限がありますi&lt;j&lt;ki&lt;j&lt;ki<j<k、jjjからkkkへのエッジはiiiからkkkです。
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4サイクルの数
してみましょう 4つの頂点でサイクルすること。個の頂点とm個のエッジを持つ任意のグラフが、はいくつ存在しますか？これに下限はありますか？C4C4C_4GGGnnnm &gt; n n−−√m&gt;nnm>n\sqrt nC4C4C_4
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確定的エラーの削減、最先端ですか？
rビットのランダム性を使用するランダム化（BPP）アルゴリズムAAAします。選択したδ &gt; 0に対して、成功確率を1 - δに増幅する自然な方法は次のとおりです。rrr1−δ1−δ1-\deltaδ&gt;0δ&gt;0\delta>0 独立した実行+多数決：AAA個別にT=Θ(log(1/δ)T=Θ(log⁡(1/δ)T=\Theta(\log(1/\delta)回実行し、出力の多数決を取ります。これにはrT=Θ(rlog(1/δ))rT=Θ(rlog⁡(1/δ))rT =\Theta(r\log(1/\delta))のランダム性が必要です。T=Θ(log(1/δ))T=Θ(log⁡(1/δ))T=\Theta(\log(1/\delta))係数で実行時間を爆発させます。 ペアごとに独立した実行+チェビシェフ：AAA「ペアごとに独立して」T=Θ(1/δ)T=Θ(1/δ)T=\Theta(1/\delta)回実行し、しきい値と比較します。これにはrT=Θ(r/δ)rT=Θ(r/δ)rT =\Theta(r/\delta)ビットのランダム性が必要で、実行時間をT=Θ(1/δ)T=Θ(1/δ)T=\Theta(1/\delta)因子。 Karp、Pippenger、およびSipser [1] （明らかに、私は論文自体に手を入れることができなかった、それは中古のアカウントです）強力な通常のエキスパンダーに基づく代替アプローチを提供しました：基本的に、エキスパンダーの2r2r2^rノードを参照してくださいランダムシードとして。rrrランダムビットを使用してエキスパンダーのランダムノードを選択し、 短いランダムな長さのウォーク行うT=Θ(log(1/δ))T=Θ(log⁡(1/δ))T=\Theta(\log(1/\delta))そこから、実行AAA上TTT種子は多数決を取る前に、パス上のノードに対応します。これにはr+T=r+Θ(log(1/δ))r+T=r+Θ(log⁡(1/δ))r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))ビットのランダム性が必要であり、T=Θ(log(1/δ))T=Θ(log⁡(1/δ))T=\Theta(\log(1/\delta))係数で実行時間を爆発させます。 多数決を行う前に、現在のノードのすべてのネイバー（または、より一般的には、現在のノードの距離c内にあるすべてのノード）でAAAを実行します。これにはrビットのランダム性が必要で、T = dファクターで実行時間を爆破します。dは次数（または距離c近傍の場合はd c。パラメーターを適切に設定すると、T = poly （1 / δ ）こちら。cccrrrT=dT=dT=dddddcdcd^ccccT=poly(1/δ)T=poly⁡(1/δ)T=\operatorname{poly}(1/\delta) 決定論的エラーの削減に対応する最後の項目に興味があります。依存性還元後の任意の改善[1]、があったTTT上のδδ\delta？何が現在の最高の達成可能- 1/δγ1/δγ1/\delta^\gammaいるためγ&gt;1γ&gt;1\gamma > 1？γ&gt;0γ&gt;0\gamma > 0？（BPPBPP\textsf{BPP}？RPRP\textsf{RP}？） 注：BPPではなくRPRP\textsf{RP}にも（非常に）興味があります。[2]で紹介したように、関連する構造は、もはやパンダではありませんが、分散機（例えば、これらの参照の講義ノート、TA-ShmaによるとESP。表3）。決定論的（許容されるrよりもランダムなビットが1つ少ない）増幅に対応する境界は見つかりませんでしたが、（より重要なことには）関連するパラメータ範囲の最先端の明示的な分散器の構成は何ですか？ 。BPPBPP\textsf{BPP}rrr [1] Karp、R.、Pippenger、N.およびSipser、M.、1985。時間ランダム性のトレードオフ。確率的計算の複雑さに関するAMS会議（Vol。111）。 [2]コーエン、A。およびウィグダーソン、A.、1989年10月。分散器、決定論的増幅、および弱いランダムソース。第30回コンピューターサイエンスの基礎に関する年次シンポジウム（pp。14-19）。IEEE。
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各提出後に不満を感じる
私は「トップ20」大学の3年生で、きめ細かい複雑さ（3-SUM、OV、および一般的な一般的な硬度の推測で遊ぶこと）に取り組んでいます。私はこの一年かそこらでかなり生産的であり、3論文が承認され、2論文が提出されました。私はかなり経験豊富な大学院生であり、これから説明しようとしていることは逸話ではありません。 提出するたびに、満足よりも不満が多くなります。問題の作業を開始する直前に、私とアドバイザーは、答える必要がある具体的な質問のリストを特定します。多くのことを考えた後、私たちは多くの幸福と満足感を与える非常に素晴らしい非自明な結果を持っています。すべての結果を書き始めると、必然的に、ポップアップが表示されますが、進行がはるかに困難になる、より興味深いバリエーションがいくつかあります。最初の多幸感ポイントの後、すべてが下り坂になっているように感じます。回答が必要なバリアントも非常に多く、明らかに問題が目前にありますが、私にはできません。私たちが論文を提出する頃には、その論文の結果がほとんど取るに足らないように思えてとてもがっかりしています。おそらくこれは単にトンネルのビジョンですが、私はすることができます これは毎回発生しており、これが一般的な感情かどうか疑問に思っています。理論コミュニティの他の人々も同じように感じていますか？これが学界全体の気持ちなのかどうかはわかりません。他の分野からの私の仲間の大学院生は、すべての提出後に月を越えています（しかし、これは単なる逸話です）。 編集-フロントページに別のソフトの質問があることがわかります。別のものを追加して申し訳ありません。そのホリデーシーズンと（だけ？）いくつかの飲み物の後、人はこれらのものについて熟考し始めます！
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停止している検出器はどれくらい良いですか？
かどうかを決定できるチューリングマシンはありますか 他のほぼすべてのチューリングマシンが停止ますか？ N →{ M私}N→{M私}\mathbb{N} \rightarrow \{M_i\}∥は⋅ ∥は‖⋅‖\| \cdot \|、そして私たちは定義します。 f（i ）= ∥ { n ：M私M かどうか判断できません n 停止} ∥ 。f（私）=‖{n：M私 かどうか判断できません Mn 止まる}‖。f(i) = \|\{n: M_i \text{ can't decide whether }M_n \text{ halts} \}\|. さまざまなの最小値の特性がどのように存在するか ？たとえば、までの数の割合のlimsupであるである。そこにあるたため？fff∥は⋅ ∥は‖⋅‖\| \cdot \|∥ S∥‖S‖\| S \|kkkSSS私私if（i ）= 0f（私）=0f(i) = 0
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回路の複雑さを持つ関数の階層化されたブール回路はどれくらい小さくできますか？
基底のサイズ入力を持つブール回路によって計算される関数考えます（ゲートの次数2 ）。C n s （n ）= p o l y（n ）{ X O R、A N D、NfffCCCnnns(n)=poly(n)s(n)=poly(n)s(n) = \mathsf{poly}(n){XOR,AND,NOT}{XOR,AND,NOT}\{\mathsf{XOR},\mathsf{AND},\mathsf{NOT}\}XOR,ANDXOR,AND\mathsf{XOR},\mathsf{AND} ブール回路は、2つのゲート間の任意のエッジが隣接するレイヤーを接続するように、ゲートの層（は回路の深さ）に配置できる場合、レイヤー化されます。dddddd ことを考えるとサイズのブール回路持っている、私たちは、積層回路コンピューティングの大きさについて何を言うことができる？些細な上限があります：エッジが交差する各レイヤーでダミーノードを追加することにより、最大でサイズのレイヤード回路を取得します。しかし、一般的には改善できますか（例：、または）、または興味深いクラスの回路のために？s f C O （s 2）fffsssfffCCCO(s2)O(s2)O(s^2)O(s⋅logs)O(s⋅log⁡s)O(s\cdot \log s)O(s)O(s)O(s) バックグラウンド。この質問は、通信（例：s / log sまたはs / log log s ）でサイズ層状ブール回路を安全に計算する方法を示す暗号の最近の結果から生じています。私は、一般的な回路または「自然な」回路のいずれかで、このブール論理回路への制限が実際にどれほど制限的であるかを理解しようとしています。ただし、文献では層状回路についてはあまり見つけていません。適切なポインタも歓迎されます。ssso(s)o(s)o(s)s/logss/log⁡ss/\log ss/loglogs)s/log⁡log⁡s)s/\log\log s)
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言語（およびその型システム）が独自の用語に関する定理を証明できるのはなぜですか？
私は最近、独自の用語に関する数学的定理を証明できる最小限のプログラミング言語であるAaronのCedille-Coreを実装しようとしました。また、λでエンコードされたデータ型の帰納法を証明しました。 それほどではないが、これらの拡張機能がどこから来たのか、まだ疑問に思っている。なぜ彼らは彼らですか？それらを正当化するものは何ですか？たとえば、再帰などの一部の拡張機能は、言語を証明のシステムとして台無しにすることを知っています。CoCを他のプリミティブで拡張することにした場合、どのように正当化できますか？正規化の証明が必要であることは理解していますが、それはそれらのプリミティブが「意味をなす」ことを証明しません。 要するに、言語（およびその型システム）を、それ自体の用語に関する定理を証明できるシステムとして特に限定するものは何ですか？
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エントロピーと計算の複雑さ
消去ビットはエネルギーを消費する必要があることを示す研究者がいますが、計算の複雑さアルゴリズムのエネルギーの平均消費に関する研究はありますか？計算の複雑さF （n ）はエネルギーの平均消費量と相関していると思います。ここで何らかの答えが得られることを願っています。F(n)F(n)F(n)F(n)F(n)F(n)
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の
ポイント 2つのサイズセットがあるとします。回転のみが異なる場合のテストの（時間）複雑さは何ですか？：X = OYのような回転行列が存在しますか？X 、Y ⊂ R nはmmmX,Y⊂RnX,Y⊂RnX,Y\subset \mathbb{R}^nX = O YOOT=OTO=IOOT=OTO=IOO^T=O^TO=IX=OYX=OYX=OY ここで実際の値を表す問題があります-簡単にするために、基本的な算術演算のコストをO（1）として想定できるように、各座標に（短い）代数公式があると仮定します。 基本的な質問は、この問題がPにあるかどうかです。 一見するとこの問題は単純に見えるかもしれませんが、通常は点や角度のような局所関係のノルムをテストするのに十分ですが、例えばグラフ同型問題と同等の厄介な例があります。 具体的には、強正則グラフ（SRG）の隣接行列の固有空間を見て、幾何学的解釈を行うことができます。以下は最も単純な例です。2つの16頂点SRGは、ローカルに同一に見えますが、同型ではありません。 SRGの隣接行列は常に（既知の公式の）3つの固有値のみを持ちます-上記の固有値2（カーネル）の固有空間を見ると、次元6を持ちます-上記の基底。正規直交化（Gram-Schmidt）、可能な正規直交基底の大きな空間が得られます回転によって異なり、「垂直ベクトル」を回転します：長さ6の16ベクトルのセットをとして定義します、ここで、は2番目のグラフに対応しますとが回転のみで異なる場合、グラフ同型質問を質問に変換します。O （6 ）X ⊂ R 6 | X | = 16 Y X YA−2IA−2IA-2IO(6)O(6)O(6)X⊂R6X⊂R6X\subset \mathbb{R}^6|X|=16|X|=16|X|=16YYYXXXYYY 難点は、これらすべてのポイントが球体にあり、元の関係を再作成することです：すべての隣人（ここでは6）は90度未満の固定角度にあり、すべての非隣人（ここでは9）は90度以上の別の固定角度にあります上の写真。 そのため、ノルムとローカル角度に基づいたテストでは、グラフの同型問題に戻りますが、幾何学的解釈により、回転不変量などのグローバルプロパティを操作できます。 一般的に、自然な「グローバル」アプローチは、両方のセット「モジュロ回転」（自由度を含む）を記述し、両方の記述が同一であるかどうかを確認しようとします。n(n−1)/2n(n−1)/2n(n-1)/2 通常、回転不変式を定義できます-問題は、回転の侵略者の完全なセットを構築することです：モジュロ回転のセットを完全に決定します。 ポイント（？）に直接作用する実用的な回転不変式の方法を見つけることはできませんでしたが、多項式（stack）に対しては行うことができます。次数2の多項式場合、回転不変量の完全な基底は、たとえばです。図式彼らは、長さとして表すことができ、サイクル、我々は同様に構築することができるより高次の多項式のための回転不変量を、例えば、（残りの問題は、それらの独立である）程度1,2,3,4-多項式の単一の回転不変量に対応する以下の各グラフ：T r （A k）k = 1 、… 、n kxTAxxTAxx^T A xTr(Ak)Tr(Ak)Tr(A^k)k=1,…,nk=1,…,nk=1,\ldots,nkkk 問題は、多項式でポイントのセットを記述する方法です。一般に、高次多項式、たとえばが必要ですが、SRGのセットはかなりregular-次数6の多項式でのみ記述できます：p(z)=∏x∈X(x⋅(z−x))p(z)=∏x∈X(x⋅(z−x))p(z)=\prod_{x\in X} (x\cdot (z-x)) …
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