相対化不可能な証明の自然な例は何ですか？

私が理解しているように、P = NPまたはP≠NPであるという証明は、相対化不可能である必要があります（再帰理論のオラクルのように）。

ただし、事実上すべての証明は相対化可能のようです。

非の良い例は何ですかP = NP / P≠NP証明が必要な、相対論証明のですか？

（私は再帰理論家ではないので、引用の欠如をご容赦ください。）

[編集：mathoverflowの投稿を改善]

— サイ
ソース

MOからの提案をコピーして邪魔にならないように：私が知っている正規の例はIP = PSPACEの証明です。特にIPにPSPACEを含めるには、特定のPSPACEのインタラクティブな証明を表示します。 -完全な問題、相対化不可能な手法-特定の問題は相対化しない。

— スティーブンスタドニッキ14年

@AndrejBauer私の知る限り、「相対化TQBF」のようなものはありませんので、ないは-実際には、神託のある

と

証明が正準相対化することはできませんので、。

A

$A$

{I P}^{A} \neq {P S P A C E}^{A}

$\mathrm{IP}^A\neq \mathrm{PSPACE}^A$

— スティーブンスタドニッキー14年

@Steven：相対化されたTBQFは、単なる（標準の）論理ゲートではなく、オラクルゲートを許可することで形成できます。

@RickyDemerそれでも、証明の核心は、式を低次多項式として解釈することで機能します。これは、（たとえば）一様にランダムなオラクルゲートを持っている場合は実行されません。

— ヨナタンN 14年

ところで、相対化に関するP =？NPの結果は、1975年のベーカー・ギル・ソロヴァイの定理として知られています。証明は、たとえばHopcroft / Ullmanにもあります。@ richerby / Saiは、両方の質問が既に入力された後に移行する理由はありません。今後の参照のために。また、クロスポストに関するスタック交換の公式なクロスサイトポリシーがないように思われます（そのため、混乱が理解できる）。

— vzn 14年

回答:

Stevenが指摘しているように、標準的な例はです。この崩壊は、Oracleがあるという意味で、相対化しない、被験体への。この結果の既知の証明が相対化の障壁を回避する理由は、算数化（ヨナタンはコメントでこれを暗示している）を使用しているという直観です： $\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$ $A$ $\mathsf{IP}^A \ne \mathsf{PSPACE}^A$ $\mathsf{PSPACE}$ 完全な問題TQBFは、適切に大きいフィールド上の低次多項式への数量化ブール式の拡張を考慮することによって与えられます。相対化されたブール式（オラクルゲートを使用）が与えられた場合、そのような拡張は存在しません。

AaronsonとWigdersonにより、相対化の障壁（代数化）の改良点があります。一般的に、算術化の手法では代数化の障壁を回避するには不十分です。複雑性クラス包含 algebrizesもしあればOracleの及び任意の拡張の有限体上の低次多項式に、。分離場合はすべてのためのalgebrizes 、およびすべての拡張機能、 $\mathsf{C} \subseteq \mathsf{D}$ $A$ $\tilde{A}$ $A$ $\mathsf{C}^A \subseteq \mathsf{D}^{\tilde{A}}$ $\mathsf{C} \not \subset \mathsf{D}$ $A$ $\tilde{A}$ 。アーロンソンとWigdersonがあることを示す algebrizes、しかしを含む他の多くの結果、、しないでください。 $\mathsf{C}^{\tilde{A}} \not \subset \mathsf{D}^{A}$ $\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{NP} \not \subset \mathsf{P}$

algebrizeまたは相対化しない技術の最近の例では、ライアン・ウィリアムズの証拠その。分離はalgebrizeない：オラクルが存在する、低度拡張はように。直観的に、証明が障壁を回避する理由は、自明性よりも速い充足可能性アルゴリズムの存在に依存しているためです $\mathsf{NEXP} \not \subset \mathsf{ACC}$ $A$ $\tilde{A}$ $\mathsf{NEXP}^{\tilde{A}} \subset \mathsf{ACC}^A$ $\mathsf{ACC}$ そして、アルゴリズムは、そのような回路の非相対化および非代数化の特性を使用します。ライアンは、オラクルまたはオラクルの代数拡張が追加されると、すべての既知の自明な高速充足可能性アルゴリズムが故障することを論文で指摘しています。

論理を通じて相対化を理解するための興味深いアプローチもあります。古い原稿では、アローラ、インパリアッツォ、およびバジラニは、相対化の結果が正確に公理に従うものであり、非相対化の結果がシステムから独立しているように、公理のシステムを定義しています。Impagliazzo、Kabanets、およびKolokolovaによる論文は、Arora、Impagliazzo、およびVaziraniによって定義されたものに追加の公理を導入することにより、代数化について同様のことを行います。彼らは、ほとんどの既知の非相対化結果が公理から得られることを示していますが、P対NPは、とりわけ、それらから独立しています。

何かおかしくなったらおApびしますが、私は専門家ではありません。

— サショ・ニコロフ
ソース

などアーロンソン- Wigderson紙における非相対化プルーフ上の他の例として、ある

、

等、

NEXP \subseteq MIP

$\textrm{NEXP} \subseteq \textrm{MIP}$

{MA}_{EXP} ⊈ P / poly

$\textrm{MA}_\textrm{EXP} \nsubseteq \textrm{P}/\textrm{poly}$

PromiseMA ⊈ SIZE (n^{k})

$\textrm{PromiseMA} \nsubseteq \textrm{SIZE}(n^k)$

— ロビンコタリ

相対化不可能な証明のリストは次のとおりです。

PCP定理
インスタンス依存のコミットメントはゼロ知識プロトコルを意味します：
ゼロ知識とコミットメントの同等性
一般的な回路用の効率的な「仮想ブラックボックス」回路難読化ツールはありません：
ゼロ知識とコミットメントの同等性
$S_5$
非交絡証明者に対して、NEXPは最小限-インタラクティブ2 -証明者証明システムを持っている：
二証明者1ラウンド証明システム：彼らの力と彼らの問題を
絡まる可能性のある証明に対して、NEXPにはよりインタラクティブなMIPプロトコルがあります。
$\perp$ $\perp$
Jonathan Katz、暗号の高度なトピック、講義13
$C_i$ $\pi$ $\perp$ {0,1,2,3、...、n！-1}から要素を十分に短い時間で完全に均一に選択できなかった場合、そのような選択により完全に均一な生成が可能になるため有向サイクルグラフ行列または頂点の順列。

— カベ
ソース

これは、これまでの他の回答の要点の一部を要約/詳細化し、追加の例を示した有力な専門家によるこの分野の素晴らしい調査です。

[1] 複雑性理論フォートノーにおける相対化の役割

インタラクティブな証明の分野における最近のいくつかの非相対化の結果により、多くの人々が相対化の重要性を再検討しました。このホワイトペーパーでは、複雑性理論家がオラクルの結果をどのように使用し、誤用するかを見ていきます。新しいインタラクティブ証明システムとプログラムチェック結果に特に注意を払い、それらが相対化しない理由を理解しようとします。これらの質問をよりよく理解するのに役立ついくつかの新しい結果を提供します。

— vzn
ソース

+1これは素晴らしい調査ですが、1993年まで

— サショニコロフ14

true; 著者が自分の論文に日付をもっと含めると便利です。最近の調査も役立つでしょう。トピックはほとんど調査されていないようです。この分野はそれほど変化していないようで、その日からいくつの新しい結果が出たかはそれほど明確ではありません。

— vzn

新しい結果：量子複雑度クラスに関連する新しいオラクルの結果がいくつか現れたと思います。もっと重要なのは、何を意味するか神託の結果の面で進展があった：algebrization障壁とライアンの非algebrizing私の答えからの証拠、関連紙cs.sfu.ca/~kabanets/papers/act-full.pdfおそらく、および暗号の非ブラックボックス削減に関するBoaz Barakの研究。

— サショニコロフ