確定的エラーの削減、最先端ですか？

rビットのランダム性を使用するランダム化（BPP）アルゴリズム$A$します。選択したδ > 0に対して、成功確率を1 - δに増幅する自然な方法は次のとおりです。$r$$1-\delta$$\delta>0$

• 独立した実行+多数決：$A$個別に$T=\Theta(\log(1/\delta)$回実行し、出力の多数決を取ります。これには$rT =\Theta(r\log(1/\delta))$のランダム性が必要です。$T=\Theta(\log(1/\delta))$係数で実行時間を爆発させます。
• ペアごとに独立した実行+チェビシェフ：$A$「ペアごとに独立して」$T=\Theta(1/\delta)$回実行し、しきい値と比較します。これには$rT =\Theta(r/\delta)$ビットのランダム性が必要で、実行時間を$T=\Theta(1/\delta)$因子。

Karp、Pippenger、およびSipser [1] （明らかに、私は論文自体に手を入れることができなかった、それは中古のアカウントです）強力な通常のエキスパンダーに基づく代替アプローチを提供しました：基本的に、エキスパンダーの$2^r$ノードを参照してくださいランダムシードとして。$r$ランダムビットを使用してエキスパンダーのランダムノードを選択し、

• 短いランダムな長さのウォーク行う$T=\Theta(\log(1/\delta))$そこから、実行$A$上$T$種子は多数決を取る前に、パス上のノードに対応します。これには$r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$ビットのランダム性が必要であり、$T=\Theta(\log(1/\delta))$係数で実行時間を爆発させます。

• 多数決を行う前に、現在のノードのすべてのネイバー（または、より一般的には、現在のノードの距離c内にあるすべてのノード）で$A$を実行します。これにはrビットのランダム性が必要で、T = dファクターで実行時間を爆破します。dは次数（または距離c近傍の場合はd c。パラメーターを適切に設定すると、T = poly （1 / δ ）こちら。$c$$r$$T=d$$d$$d^c$$c$$T=\operatorname{poly}(1/\delta)$

決定論的エラーの削減に対応する最後の項目に興味があります。依存性還元後の任意の改善[1]、があった$T$上の$\delta$？何が現在の最高の達成可能- $1/\delta^\gamma$いるため$\gamma > 1$？$\gamma > 0$？（$\textsf{BPP}$？$\textsf{RP}$？）

注：BPPではなく$\textsf{RP}$にも（非常に）興味があります。[2]で紹介したように、関連する構造は、もはやパンダではありませんが、分散機（例えば、これらの参照の講義ノート、TA-ShmaによるとESP。表3）。決定論的（許容されるrよりもランダムなビットが1つ少ない）増幅に対応する境界は見つかりませんでしたが、（より重要なことには）関連するパラメータ範囲の最先端の明示的な分散器の構成は何ですか？ 。$\textsf{BPP}$$r$

[1] Karp、R.、Pippenger、N.およびSipser、M.、1985。時間ランダム性のトレードオフ。確率的計算の複雑さに関するAMS会議（Vol。111）。

[2]コーエン、A。およびウィグダーソン、A.、1989年10月。分散器、決定論的増幅、および弱いランダムソース。第30回コンピューターサイエンスの基礎に関する年次シンポジウム（pp。14-19）。IEEE。

van Melkebeekの講義ノートにはすでに$O(1/\delta)$限界をか？そこにあるバインド$\lambda$高々$O(\sqrt{\delta})$そして、$\lambda = O(1/\sqrt{d})$既存の構造を使用します。

Dworkの講義ノートでも、必要な条件は、ある定数に対して展開が$C/\delta$であることです。$C$（距離cのポイントを見ると、本質的に展開を改善するためにパワーを使用します）。これも度$O(1/\delta)$で得られます。

おそらく下限があります $\Omega(1/\delta)$必要な実行回数に Ω （1 / δ ）のがあります。