いくつかのグラフのゲーム

あるノードにチップがある有向加重グラフ$G$で次のゲームを考えてみましょう。

$G$すべてのノードはAまたはBでマークされます。

アリスとボブの2人のプレーヤーがいます。アリス（ボブ）の目標は、チップをA（B）でマークされたノードにシフトすることです。

最初、アリスとボブはそれぞれ$m_A$と$m_B$ドルを持っています。

プレーヤーが負けた場合（つまり、チップの現在の位置が反対の文字でマークされている場合）、プレーヤーはチップを隣接ノードに移動できます。そのような移動には、数ドルの費用がかかります（対応するエッジの重み）。

プレーヤーが負けの立場にあり、それを修正する資金がない場合、プレーヤーは負けます。

次に、すべての有向重み付きグラフ$G$（すべての重みは正の整数です）、チップの初期位置、および単項表現で与えられるアリスとボブの首都で構成されるGAME言語を考えます。

アリスがこのゲームで勝利戦略を持っているように。

GAME言語はPに属します。実際、ゲームの現在の位置は、チップの位置とアリスとボブの現在の資本によって定義されるため、動的プログラミングが機能します（初期資本が単項表現で与えられていることが重要です）。

次に、このゲームの次の一般化を考えます。各グラフにチップがあるいくつかの有向加重グラフ$G_1, \ldots G_n$を考えます。すべてのグラフのすべてのノードはAとBでマークされています。すべてのチップがBでマークされている場合はボブが勝ち、少なくとも1つのチップがAでマークされている場合はアリスが勝ちます。

アリスが対応するゲームで勝つように、すべてのグラフ$G_1, \ldots, G_n$、初期位置、および資本$m_A$および$m_B$（単項表現）で構成される言語MULTI-GAMEを考えます。ここで重要なのは、すべてのグラフで大文字が共通であることであり、それはいくつかの独立したGAMEだけではありません。

質問マルチゲームという言語の複雑さは何ですか？（それもPに属しているのですか、それともこの問題が難しいことにはいくつかの理由がありますか？）

UPD1の ニール・ヤングは、コンウェイの理論を使用することを提案しました。しかし、私はこの理論を共通資本を持ついくつかのゲームに使用することが可能であることを知りません。

UPD2マルチゲームがそれほど単純ではないことを示す例を示したいと思います。アリスが自分の資本$m_A$をいくつかの$n$項に分割するとします$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$（彼女はi番目のグラフにiドルを使用$a_i$ます）。定義bは私になるように、最小限の数としてI番目のゲームボブの勝利アリスとボブが持っている場合は、私とbは、私はそれぞれドル。もしb 1 + … b$i$$b_i$$i$$a_i$$b_i$$b_1 + \ldots b_n > m_B$（いくつかの分割では$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$）の場合、アリスが勝ちます。ただし、その逆は当てはまりません。次のグラフの2つのコピーを検討してください（最初はチップは左上Aにあります）。

1つのグラフでは、$m_A=0$および$m_B=2$場合、または$m_A=1$および$m_B=3$場合にボブが勝ちます。ただし、このグラフのコピーが2つあるゲームでは、$m_A=1$および$m_B=5$場合、ボブは負けます。実際、ボブは両方のチップをBでマークされたノードにシフトするために$4$ドルまたは$5$ドルを費やす必要があります。その後、アリスはAでマークされたノードに少なくとも1つのチップをシフトできます。その後、ボブは自分のポジションを保存するためのお金を持っていません。$B$

UPD3任意のグラフの質問は難しいように見えるので、特定のグラフを検討してください。いくつかのグラフを示すノード$G_i$として$1, \ldots k$。私の制限は次のとおりです。すべてのペア$i<j$について、$i$から$j$へのエッジが存在し、逆のエッジはありません。また、エッジのコストには制限があります$i<j<k$、$j$から$k$へのエッジは$i$から$k$です。

Steven Stadnickiの回答が質問者に受け入れられなかったように思われるので、更新を提供することはまだ役立つかもしれないと考えました。3SATからMULTI-GAMEに削減しました。私はスティーブンの答えを注意深く見たり、彼が提供したリンクをたどったりしていませんが、以下の削減に基づいて、マルチゲームが実際にPSPACE完全であるとしても、驚くことはありません。しかし、私はこの結果をNPの困難さを超えて拡張する必要はないかもしれません。

A 3SATインスタンスは、節から成る$C_1, \dots, C_m$、形式のもので、各句$C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$、各$L_{ik}$、変数のいずれかであるが、$x_1, \dots, x_n$または変数の1つの否定。

このような3SATインスタンスが与えられた場合、削減により、$n + 1$ゲームからなるマルチゲームインスタンスが作成されます-各変数に1つ、および過剰な資本シンクとして使用される別のゲーム。最初に、各ゲームのグラフの構造を定義し、次に例を見てコアアイデアについて説明します。次に、リダクションを確実にするためにエッジに割り当てる正確なコストを把握します。

まず、変数ゲームグラフ$G_j$各変数について$x_j$：

1. Aでマークされた$x_j$というラベルの付いた頂点を作成します（つまり、アリスの勝利頂点）。$G_j$のチップは頂点$x_j$から始まります。
2. $T$ラベルが付いた頂点と$F$ラベルが付いた頂点を作成し、それぞれにBのマークを付けます（つまり、両方ともボブの勝利ポジションです）。$x_j$から$T$と$F$両方への有向エッジを作成します。どちらもコストは$1$です。

3. 各リテラルのために$L_{ik}$節の$C_i$、もし$L_{ik} = x_j$または$L_{ik} = \neg x_j$頂点を作成する標識$C_iTA$及び$C_iFA$ Aでマークされた頂点は、標識された$C_iTB$とBでマークされた$C_iFB$。エッジ$(T, C_iTA)$を追加し、$(F, C_iFA)$両方のコストが$l_{ik}$設定されています。（後で$l_{ik}$定義します。）

   エッジ$(C_iTA, C_iTB)$と$(C_iTA, C_iTB)$を追加します。もし$L_{ik} = x_j$、次に設定$(C_iTA, C_iTB)$へのコスト$l_{ik} - 1$および$(C_iTA, C_iTB)$へのコスト$l_{ik}$。それ以外の場合は、$(C_iTA, C_iTB)$のコストを$l_{ik}$、$(C_iTA, C_iTB)$のコストを$l_{ik} - 1$ます。

資本シンクゲーム：

1. Bというマークが付いた$C$というラベルの付いた頂点を作成します。
2. 各節のための$C_i$、標識された頂点作成$C_iA$ Aでマークされ、そして標識された頂点$C_iB$エッジ作成B.でマーク$(C, C_iA)$エッジコストで$c_i$（再び下方に決定されます） 、およびエッジ$(C_iA, C_iB)$もエッジコスト$c_i$持ちます。

これは多くのことを取り入れているので、うまくいけば、例がこれをもう少しわかりやすくすることができます。3SATインスタンスは次のとおりです。

$C_1 = x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3$

$C_2 = x_2 \vee x_3 \vee \neg x_4$

$C_3 = \neg x_1 \vee \neg x_3 \vee x_4$

削減により、このインスタンスは4つの変数ゲームグラフと1つの資本シンクグラフに変わります。下の図では、赤い頂点はAでマークされており（つまり、アリスの勝利ポジションです）、シアンの頂点はBでマークされています（ボブの勝利ポジションです）。

$x_1$グラフ：

$x_2$グラフ：

$x_3$

$x_4$

資本シンクのグラフ：

アイデアは次のとおりです。

$n$$n$

$c_i$$l_{ik}$$C_i$

$C_i$$C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$$k \in \{1, 2, 3\}$$L_{ik} = x_j$$\neg x_j$$C_i?A$$x_j$$C_iA$

$C_i?A$$C_iTA$$C_iFA$

$C_i$$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i$$C_i$$1$$c_i$$l_{ik}$ 値とアリスとボブの開始時の資本は、上記の割引がアリスとボブのどちらが勝つかを決定する要素になることを保証することです。

$b = m + 1$

$l_{ik} = 2b^{10} + ib^{2k}$$k \in \{1, 2, 3\}$

$c_i = 3b^{10} + b^8 - \sum_{k=1}^3 ib^{2k}$

$9b^{10} + b^8$

$9b^{10} + b^8 + n - 1.$

$m$

$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i = 9b^{10} + b^8$$1$$n$

$C_i$$C_i$

ボブのオープニングがすべての条項を満たしている場合、アリスが勝つ可能性を排除するアリスのオプションに対する制約について議論することができます。ボブの応答は強制され、ボブがアリスの動きに応答するために必要とする総資本は、アリスの動きの順序によって変化しないので、アリスが彼女を動かす順序は無関係であることに注意してください。

• $\ge 5b^{10}$
• $\ge 9b^{10} + 3b^8 - 3b^7 > 9b^{10} + 2b^8$$\le 8b^{10} + 2b^8 + b^7$
• $\le 8b^{10} + 4b^7$

$b^{10}$$b^8$$9b^{10} + b^8$$C_iA$$b^{10}$$b^8$$\sum_{k=1}^3 ib^{2k}$$1$

• $l_{j3}$$C_j$$\le 3b^5$
• $l_{j3}$$l_{i3}$$l_{j3}$$j > i$$\ge (i+1)b^6$$l_{j3}$$j < i$$l_{(i - j)3}$$b^6$$b^2$$b^2$

$l_{i2}$$l_{i1}$$C_i$$l_{ik}$$1$

私の以前の回答についてのコメント：後の結果から明らかなように、その回答のコメントで定義したマルチゲームのTABLE-GAMEバリアントでは、ナップザックスタイルのDPで勝者戦略を決定するのに十分です。ボブの最善の戦略は、可能な限り最小限の投資で、特定のゲームテーブルの負けた状態に常に対応することであると主張できます（これにより、ボブのその後の動きを阻止できません）。アリスの動きの重要性はありません。次に、ゲーム間でのアリスの資本の分割を選択するという問題になり、ボブのそれらのゲームに対する最小勝利応答の合計が彼の予算を超えます。これは、多項式時間のDPが原因であるナップザックスタイルの問題としてリフレームできます。コストの単項表現に。（私の再発は実際に

$n$

UPD3の特別なケースについてはあまり考えていません。私の可変ガジェットは一見してこれらの制約に適応できるように見えるので、それはNPハードでもあると思いますが、これ以上は調べません。

更新：おそらく正しくありません。大通りを探索した記録として今のところ残します。コメントを参照してください。

更新2：間違いです。

$G = (V, E)$$V = \{1, 2, 3\}$$E = \{(1, 2), (2, 3)\}$

$m_A = m_B = 2$$G_1 = G_2 = G_3 = G$

$M[3,2,2]$$2-u, u$$v, 2 - v$$M[2, 2 - u, 2 - v] = B$$W[3, u, v] = B$$u = 1$$u = 2$$M[2, 2 - u, 2] = A$$u = 0$$W[3, u, 2] = A$

$u$$v$

$m_A, m_B, G_1, \dots, G_n,$

事前計算

$W[k, x, y] = \begin{cases}A & \text{if Alice wins GAME on $G_k$ with initial funds $x$ for Alice and $y$ for Bob,} \\ B & \text{otherwise}\end{cases}$

$x \le m_A$$y \le m_B$

$M[k, x, y]$$k$$x \le m_A$$y \le m_B$$M[k, x, y] = B$$A$

$M[1, x, y] = W[1, x, y]$

そして

$M[k+1, x, y] = B \quad\text{if and only if}\quad \exists v \forall u, W[k+1, u, v] = B \:\:\text{and}\:\: M[k, x-u, y-v] = B.$

$M[n, m_A, m_B] = A$

$[n]$$n+1$$n\ldots 0$$i+1$$i$$0\leq i\lt n$$0$$0$$n$$[n]$$\geq n$$0$$0$

$G$$\alpha$$\beta$$\alpha$$[i]$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$j\lt k$$\alpha$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$[k]$$[i]$$\{i\mid\{j\mid k\}\}$