タグ付けされた質問 「graph-theory」

グラフ理論は、オブジェクト間のペアワイズ関係をモデル化するために使用される数学的構造であるグラフの研究です。

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禁止されている未成年者を見つけるアルゴリズムはありますか？
ロバートソン・シーモア定理は、任意のマイナー閉じ家族と言うのグラフは、有限個の禁断の未成年者を特徴とすることができます。GG\mathcal G 入力に対してが禁止された未成年者を出力するアルゴリズムはありますか、またはこれは決定不可能ですか？GG\mathcal G 明らかに、答えはが入力でどのように記述されているかに依存する可能性があります。たとえば、で与えられるのメンバーシップを決定することができ、私たちもかどうかを決定することはできません今までに何かを拒否します。が有限の数の禁止された未成年者によって与えられた場合-まあ、それは私たちが探しているものです。一定の時間内にがで停止することが保証されている場合、その答えを知りたいと思います。私はまた、が他の証明書でマイナークローズされていることが証明された関連結果（場合など）にもGG\mathcal GGG\mathcal GMGMGM_\mathcal GMGMGM_\mathcal GGG\mathcal GMGMGM_\mathcal GGGG|G||G||G|GG\mathcal GTFNPTFNPTFNPまたは間違った証拠）。 更新：私の質問の最初のバージョンは、MarzioとKimpelのアイデアに基づいて、非常に簡単であることがわかりました。次の構成を検討してください。 は、がステップで停止しない場合に限り、頂点のグラフを受け入れます。これはマイナークローズで、実行時間はのみに依存します 。MGMGM_\mathcal GnnnMMMnnn|G||G||G|
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制限されたグラフクラスの半音階の硬度について何がわかっていますか？
1991年の素晴らしい論文があり、さまざまなグラフクラスファミリに関する3つの図表があり、それらの色度指数を決定することの硬さについて知られていることを示しています。それ以降、何かニュースはありますか？ 有彩色数が制限されたグラフについて知られていることに最も興味があります。私の好奇心は/mathpro/238448/hypergraph-edge-colouringによって提起されています。
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有向サイクルへのダイグラフ準同型の複雑さ
固定された有向グラフ（有向グラフ）与えられたDDD、 -COLORING決定問題は、入力された有向グラフかどうかを尋ねるに準同型有する。（からへの準同型は、アークを保存するからへのマッピングです。つまり、がアークである場合、は、）G D G D f V （G ）V （D ）u v G f （u ）f （v ）DDDDGGGDDDGGGDDDfffV(G)V(G)V(G)V(D)V(D)V(D)uvuvuvGGGf(u)f(v)f(u)f(v)f(u)f(v)DDD -COLORING問題のクラスは、FederとVardi（citeseerでアクセス可能）が述べた CSPの二分法予想に強く関連しています。DDD で、この2001年論文（作者のページにアクセスでき、ここで場合）、フェーダーは、二分法の定理を証明指向サイクルである（によって配向サイクル Iが各エッジを任意に配向させることができる単一の円弧により置換されている無向サイクルを意味します）言い換えれば、彼は、任意の方向付けられたサイクルに対して、 -COLORINGが多項式時間可解またはNP完全であることを示しています。D DDDDDDDDDD 残念なことに、多くの場合の複雑さは方向に依存するSATの特定の制限されたバリアントの複雑さに関連しているため、Federの分類は非常に重要であり、明確ではありません。論文を見ても、私の質問に対する答えを特定することはできませんでした。 質問： -COLORINGがNP完全であるような、方向付けられたサイクルの最小サイズは何ですか？DDDDDDD 答えは文献のどこかに述べられているかもしれませんが、私はそれを見つけることができませんでした。 編集：フェダーの分類について詳しく説明します。フェダーは、すべてのNP完全指向のサイクルはバランスがとれている必要があることを示しています。次に、方向によって引き起こされる「レベル」を検討します（任意の頂点でサイクルを回り始めます。円弧が右に行くと、1ずつ上がります。円弧が左に行くと、1ずつ下がります）。次に、「トップボトムラン」が最大で1つある場合、それは多項式です。そのような「実行」が少なくとも3つあり、サイクルがコアである場合、それはNP完全です。（コメントからのAndrásの例では、そのような「実行」は3つありますが、サイクルはコアではありません。）最もトリッキーなケースは、「トップボトム実行」が2つあるケースです。いくつかは難しい、いくつかは多項式であり、Federはそれらを二分法を得るために特別なSAT問題に関連付けます。 中間的な質問として：3つの「トップボトム」ランがあり、コアである最小の指向サイクルは何ですか？このような例は、上記の議論によってNP完全になります。
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最小オートマトンとしての有向マルチグラフ
アルファベット通常言語与えられた場合、その最小の決定論的オートマトンは、一定のアウト度持つ有向接続マルチグラフと見なすことができますマークされた初期状態（遷移、最終状態のラベルを忘れることによる）。すべての頂点はそこからアクセス可能でなければならないため、初期状態を維持します。LLLAAA|A||A||A| その逆は本当ですか？すなわち、すべての頂点がそこからアクセス可能であるような一定のアウト次数と初期状態を持つ有向接続マルチグラフが与えられると、が最小オートマトンの基礎となるグラフであるような言語は常に存在しますか？GGGLLLGGGLLL たとえば、の場合、グラフは接頭辞がサイズでループがサイズ「投げ縄」である必要があり、の最小オートマトンに対応するため、trueです。。|A|=1|A|=1|A|=1iiijjjL={ai+nj | n∈N}L={ai+nj | n∈N}L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\} 動機付けは、決定可能性の削減で発生する関連する問題から生じます。解決策は、無指向の単純なグラフから始め、シンクの追加などのより多くの操作が許可されているからです。しかし、誰かがこのより自然な質問をすでに見ていたのではないかと思いました。 文献でリモート接続されている唯一のことは、「所定のリセットワードによる道路の色付けの複雑さ」のような論文です。その目的は、そのようなマルチグラフに色を付けて、結果のオートマトンが同期するワードを持つようにすることです。ただし、最小限度は考慮されていないようです。 更新：Klaus Draegerの回答後のフォローアップ質問：グラフがこの形状であるかどうかを決定する複雑さは何ですか？ラベリングを推測し、オートマトンの最小性を多項的に検証できるので、それはNPにありますが、もっと言えるでしょうか？
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グラフ同型のグラフの自己同型の数
LETおよび 2つのでありサイズの-regular接続グラフ。LET順列の集合ように。場合、はの自己同型のセットです。GGGHHHrrrnnnAあAPPPPGP−1=HPGP−1=HPGP^{-1}=HG=HG=HG=HAあAGGG サイズの最もよく知られている上限は何ですか？ 特定のグラフクラス（完全/サイクルグラフを含まない）の結果はありますか？AあA 注：自己同型グループの構築は、グラフの同型問題を解くのと同じくらい（計算の複雑さに関して）困難です。実際、自己同型性を数えることだけが多項式時間であり、グラフ同型性に相当します。
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虹の三角形へのエッジ分割
次の問題がNP困難かどうか疑問に思っています。 入力： 単純なグラフ、およびカラーリングエッジ（は特定のプロパティを検証しません）。、F ：E → { 1 、2 、3 } 、FG = （V、E）G=（V、E）G = (V,E)f：E→ { 1 、2 、3 }f：E→{1、2、３}f : E \to \{1,2,3\}fff 質問：それは、パーティションすることが可能であるへ各三角形は、各色の一方の端部を有するように、三角形の？| E | / 3EEE| E| / 3|E|/３|E|/3 色なしではグラフをに「エッジ分割」する問題があるため 、はNP困難（一部のエッジパーティション問題のNP完全性を参照）ですが、色はわかりません。 N ≥ 3KんKんK_nN ≥ 3ん≥３n \geq 3 また、を定数、虹のへのエッジ分割の結果にも興味があります。もちろん、この場合、問題は次のようになります。 cKcKcK_cccc 入力： 単純なグラフとカラーリングエッジ（は特定のプロパティを検証しません） 。f ：E → { 1 …
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グラフは、最大で1歩の方向があることをいつ認めますか？
次の問題を検討してください。 入力：単純な（無向）グラフ。G = （V、E）G=(V,E)G=(V,E) 質問：の方向性があります。の特性を満足させるには、すべてのためにというS 、T ∈ V（監督）多くても1つであり、S - トンの散歩？GGGs,t∈Vs,t∈Vs,t \in Vsssttt これは同等に次のように表現できます。 入力：単純な（無向）グラフ。G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E) 質問：の非環式向きあり性を満たすには、すべてのためにそのS 、T ∈ V（有向）多くても1つである、S - Tのパス？GGGs,t∈Vs,t∈Vs,t \in Vsssttt 答えが「はい」であるグラフのクラスは何ですか？この問題は多項式時間で解決できますか？ いくつかの観察： グラフが2部構成の場合、答えは「はい」です。 グラフに三角形がある場合、答えは「いいえ」です。 最初の観察は、一方のパーティションから他方のパーティションにエッジを向けることによって行われます。2番目の観察は簡単に確認できます。これにより、2つの誤った推測が行われました。 答えが「はい」であるのは、グラフが2部グラフである場合のみです。（反例：5サイクル） グラフに三角形が含まれていない場合にのみ、答えは「はい」です（反例：5サイクルのエッジのデカルト積）
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グラフクラスに名前を付ける：クリークと独立セットの素な和集合
LET 、クリークと独立集合の互いに素な和集合であるグラフであり、すなわち G = K N 1 + ¯ K N 2 = K N 1 + I N 2。GGGG=Kn1+Kn2¯¯¯¯¯¯¯¯=Kn1+In2.G=Kn1+Kn2¯=Kn1+In2.G = K_{n_1} + \overline{K_{n_2}} = K_{n_1} + I_{n_2} . そのようなすべてのグラフのグラフクラスは、禁止された誘導サブグラフセットによって特徴付けられ、したがって、クラスターグラフと分割（またはしきい値）グラフの共通部分です。H={2K2,P3}H={2K2,P3}\mathcal{H} = \{2K_2, P_3\} この（非常に単純な）グラフクラスには名前がありますか？ISGCIでグラフクラスを見つけることができませんでし た。トピック（たとえば、「単純なグラフの編集」および「クリーク編集の問題」）について知っている論文では、クラスを名前で参照していません。 このようなグラフの図は次のとおりです。
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このカバー問題の複雑さはわかっていますか？
ましょうグラフです。頂点集合X ⊆ Vが呼ばれ、重要な場合X ≠ ∅とには、頂点V ∖ Xは、正確に1つの頂点に隣接していないX。問題は、頂点集合見つけることであるS ⊆ Vように最小サイズのS ∩ X ≠ ∅すべての重要な設定のためのXを。G=(V,E)G=（V、E）G=(V,E)X⊆Vバツ⊆VX\subseteq VX≠∅バツ≠∅X\neq\emptysetV∖XV∖バツV\setminus XXバツXS⊆VS⊆VS\subseteq VS∩X≠∅S∩バツ≠∅S\cap X\neq\emptysetXバツX この問題には、次のような噂拡散の解釈があります。頂点は、iの他のすべての近傍がすでに通知されている場合に限り、その近傍jに噂を拡散します。問題は、最終的に全員に通知されるように、最初にいくつの頂点を通知する必要があるかです。i私ijjji私i
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グラフのマイナー定理を理解する
この質問は2つあり、主に参照指向です。 詳細にはあまり触れずに、グラフのマイナー定理を証明するための主な直感が与えられる場所はありますか？証明が長くて難しいことは知っていますが、より簡単な方法で伝達できる重要なアイデアが必ずあるはずです。 グラフに、準次数よりも単純な方法で、準順序であると示すことができる他の関係はありますか？（明らかに、サイズの比較など、ここでの簡単な結果には興味がありません）。有向グラフも問題の範囲内です。
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有限のツリー幅の平面グラフの列挙
私は次の問題のリファレンスを探しています：整数および与えられ、個の頂点とツリー幅上のすべての非同型平面グラフを列挙します。私は理論と実際の両方の結果に興味がありますが、と可能な限り大きな値でコーディングして実行できるほとんどの実用的なアルゴリズムです（とと考えてください）。すでに回答がある場合は、以下のとりとめのない説明を無視してください。K N ≤ K N K K ≤ 5 N ≤ 15んnnkkkんnn≤ K≤k\leq kんnnkkkK ≤ 5k≤5k \leq 5N ≤ 15n≤15n \leq 15 次のアプローチは、個の頂点とtreewidthすべての非同形グラフを列挙するために（つまり、平面性制約が削除された場合）、大丈夫です。≤ Kんnn≤ K≤k\leq k （a）個の頂点とtreewidth上のすべての非同型グラフを列挙します。≤ Kn − 1n−1n-1≤ K≤k\leq k 各頂点の（b）は上頂点とツリー幅、すべてのクリーク上の頂点にあらゆる部分集合のエッジの、作るから新たな頂点追加することによって、隣接。個の頂点とtreewidth上のgrah のリストにを追加します。N - 1 ≤ K C ≤ K G 、S C G ' G - S V …
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推移的完了/パス存在オラクルの計算
いくつかの質問（があった1、2、3、このようなものが可能であるなら、私は考えて作られた、ここで推移完了について）： 我々は、入力有向グラフ取得を前提とGGGと型のクエリに応答したいと思います「（U 、V ）∈ G+（あなた、v）∈G+(u,v)\in G^+？」、グラフの推移完了に2つの頂点間のエッジが存在する場合、すなわち尋ねるGGG？（等価的に、「からパスがあなたあなたuにvvvでGGG？」）。 与えられたGGG後、時間f（n 、m ）f（ん、メートル）f(n,m)前処理を実行でき、時間クエリに応答する必要があると仮定します。g（n 、m ）g（ん、メートル）g(n,m) 明らかに、（つまり、前処理が許可されていない）の場合、実行できる最善の方法は、時間内にクエリに応答することです。（から DFSを実行し、パスが存在する場合はtrueを返します）。f= 0f=0f=0g（n ）= Ω （n + m ）g（ん）=Ω（ん+メートル）g(n)=\Omega(n+m)あなたあなたuvvv 別の些細な結果は、その場合f= Ω （M I N { N ⋅ M 、Nω} ）f=Ω（メートル私ん{ん⋅メートル、んω}）f=\Omega(min\{n\cdot m,n^\omega\})あなたは推移閉包を計算した後でクエリに答えることができる。O （1 ）O（1）O(1) 途中の何かはどうですか？許可されている場合、たとえば前処理時間で、よりも速くクエリに回答できますか？多分それを改善しますか？f= n2f=ん2f=n^2O （m + n ）O（メートル+ん）O(m+n)O （n ）O（ん）O(n) もう1つのバリエーションは前処理時間があるが、スペースしかない場合、前処理を使用してよりも効率的にクエリに答えることができますか？P O LのY（n 、m ）poly（ん、メートル）poly(n,m)o （n2）o（ん2）o(n^2)O （n + …
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ペアワイズの互いに素なセットの最大数を見つける複雑さ
私が持っていると仮定しから取られた要素を持つ集合の可能なものを。各セットのサイズは（）であり、セットはオーバーラップできます。次の2つの問題がNP完全であるかどうかを確認したいと思います。PPPrrrnnnn&lt;rn&lt;rn<r 問題のA.あります（）の異なる内のセットセットが（すなわち、そのペアワイズ交差が空ですか）？MMM1≤M≤P1≤M≤P1 \le M \le PPPP 問題B.今すぐ（）の要素は、各セットから選択することができます。ある（）異なるサイズのセットは、以内それぞれセット？各セットから取得できる要素のセットは1つだけであることに注意してください。kkkk&lt;nk&lt;nk<nLLL1≤L≤P1≤L≤P1 \le L \le PkkkPPPkkknnn要素の。 備考：私は主にケースに興味が固定されている（N ≥ 2 、K ≥ 2）。k,nk,nk,nn≥2,k≥2n≥2,k≥2n \ge 2, k \ge 2 問題Aはユニフォームr -partiteハイパーグラフマッチング問題と考えることができます。つまり、頂点としてrの要素があり、各ハイパーエッジにはグラフのn個の頂点のサブセットが含まれています。nnnrrrrrrnnn で -uniform R NP完全-partiteハイパーグラフマッチング問題？nnnrrr 問題Bは、カーディナリティnのハイパーエッジから取得されたカーディナリティの個別のハイパーエッジの数を見つけることと同等であると思います。この制限付きバージョン（各kカーディナリティーセットは、r要素から任意に取得されるのではなく、事前に選択されたn要素のセットから取得されるという意味で）は問題A NP完全ですか？kkknnnkkknnnrrr 例（）：n=3,r=5,P=3n=3,r=5,P=3n=3,r=5, P=3 、 B = { 2 、3 、4 }、 C = { 3 、4 、5 }A={1,2,3}A={1,2,3}A=\{1,2,3\}B={2,3,4}B={2,3,4}B=\{2,3,4\}C={3,4,5}C={3,4,5}C=\{3,4,5\} 場合、唯一存在するM = 1である1つの異なるセット、A又はB又はCの対のそれぞれから、（A …
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グラフのサイクル数
多くのサイクルのどのCkCkC_k （K ≥ 3 ）（k≥３）(k \geq 3)であるんんn 頂点グラフグラフは、任意のサイクル持たないように、CメートルCメートルC_m （m &gt; k ）（メートル&gt;k）(m>k)。 たとえば、n = 5ん=5n=5、k = 3k=３k=3場合、グラフには最大で2つのC３C３C_3ため、GGGはC kがありません（k &gt; 3 ）。Ck（k &gt; 3 ）。Ck（k&gt;３）。C_k (k > 3). 上記の条件を満たすO （n ）O（ん）O(n)サイクルがあると思います。 誰か助けてもらえますか？
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