推移的完了/パス存在オラクルの計算

いくつかの質問（があった1、2、3、このようなものが可能であるなら、私は考えて作られた、ここで推移完了について）：

我々は、入力有向グラフ取得を前提と$G$と型のクエリに応答したいと思います「$(u,v)\in G^+$？」、グラフの推移完了に2つの頂点間のエッジが存在する場合、すなわち尋ねる$G$？（等価的に、「からパスが$u$に$v$で$G$？」）。

与えられた$G$後、時間$f(n,m)$前処理を実行でき、時間クエリに応答する必要があると仮定します。$g(n,m)$

明らかに、（つまり、前処理が許可されていない）の場合、実行できる最善の方法は、時間内にクエリに応答することです。（から DFSを実行し、パスが存在する場合はtrueを返します）。$f=0$$g(n)=\Omega(n+m)$$u$$v$

別の些細な結果は、その場合$f=\Omega(min\{n\cdot m,n^\omega\})$あなたは推移閉包を計算した後でクエリに答えることができる。$O(1)$

途中の何かはどうですか？許可されている場合、たとえば前処理時間で、よりも速くクエリに回答できますか？多分それを改善しますか？$f=n^2$$O(m+n)$$O(n)$

もう1つのバリエーションは前処理時間があるが、スペースしかない場合、前処理を使用してよりも効率的にクエリに答えることができますか？$poly(n,m)$$o(n^2)$$O(n+m)$

そのようなクエリに答えることを可能にするトレードオフについて一般的に何か言うことができますか？$f,g$

GPSシステムでもやや類似したトレードオフ構造が考慮されます。場所間のすべてのペアワイズ距離の完全なルーティングテーブルを保持することは不可能であるため、部分的なテーブルを格納するが全体の距離の計算よりもクエリの大幅な高速化を可能にする距離オラクルのアイデアを使用しています。グラフ（通常、ポイント間の近似距離のみを生成します）。

平面グラフにはコンパクトな到達可能性オラクルが存在し、

Mikkel Thorup：平面ダイグラフの到達可能性とおおよその距離に関するコンパクトなオラクル。J. ACM 51（6）：993-1024（2004）

しかし、一般的なグラフ（スパースグラフであっても）は「難しい」

Mihai Patrascu：Cell-Probe Lower Boundsの景観の統一。SIAM J. Comput。40（3）：827-847（2011）

それにもかかわらず、最適に近い到達可能性のラベル付けを計算できるアルゴリズムがあります。

Edith Cohen、Eran Halperin、Haim Kaplan、Uri Zwick：2ホップラベルによる到達可能性と距離のクエリ。SIAM J. Comput。32（5）：1338-1355（2003）

Maxim A. Babenko、Andrew V. Goldberg、Anupam Gupta、Viswanath Nagarajan：ハブラベル最適化のアルゴリズム。ICALP 2013：69-80

コーエンらの研究に基づいて構築。その他、かなりの応用研究（データベースコミュニティ）があります。例を参照してください。

Ruoming Jin、Guan Wang：シンプル、高速、スケーラブルな到達可能性Oracle。PVLDB 6（14）：1978-1989（2013）

矢野洋輔、秋葉拓也、岩田陽一、吉田裕一：ランドマークとパスを用いた剪定ラベル付けによるグラフの高速でスケーラブルな到達可能性クエリ。CIKM 2013：1601-1606

私はあなたの質問に部分的に答えます。そのような構造を得るのが難しいかもしれないいくつかの理由があるようです。

$T(O(m),O(n))+n q(O(m),O(n))$$T(m,n)=O(n^2)$$q(m,n)=O(n)$$O(n^\omega)$$\omega=2$

$G$$n$$X,Y,Z,W$$v$$G$$v_X,v_Y,v_Z,v_W$$(u,v)$$G$$(u_X,v_Y),(u_Y,v_Z),(u_Z,v_W)$$T(O(m),O(n))$$v_X,v_W$$v$

$n^{2+o(1)}$