虹の三角形へのエッジ分割

次の問題がNP困難かどうか疑問に思っています。

入力： 単純なグラフ、およびカラーリングエッジ（は特定のプロパティを検証しません）。、F ：E → { 1 、2 、3 } $G = (V,E)$$f : E \to \{1,2,3\}$$f$

質問：それは、パーティションすることが可能であるへ各三角形は、各色の一方の端部を有するように、三角形の？| E | /$E$$|E|/3$

色なしではグラフをに「エッジ分割」する問題があるため 、はNP困難（一部のエッジパーティション問題のNP完全性を参照）ですが、色はわかりません。 N ≥ $K_n$$n \geq 3$

また、を定数、虹のへのエッジ分割の結果にも興味があります。もちろん、この場合、問題は次のようになります。$K_c$$c$

入力： 単純なグラフとカラーリングエッジ（は特定のプロパティを検証しません） 。f ：E → { 1 、… 、c （c − 1 ）/ 2 } $G = (V,E)$$f : E \to \{1,\ldots,c(c-1)/2\}$$f$

質問：それはパーティションすることが可能であるへ、の各クリークよう各色のエッジを有しますか？$E$$|E|/(c(c-1)/2)$ $K_c$$K_c$

私は質問のリンクをたどりました。そこで削減すると、実際には、グラフに存在する各が「レインボー」（各色のエッジが1つだけ）になるような自然な色のエッジを持つグラフが生成されます。言い換えれば、 s問題への分割に縮小するのではなく、問題に縮小するように、その用紙の縮小を簡単に調整できます。この自然な色付けに従って各エッジに色を割り当てるだけで、グラフを分割できます。 「虹 S」と、それはに分割することができた場合だけまったく秒。$K_n$$K_n$$K_n$$K_n$$K_n$

その紙の削減の基本的な構造は、次の3つのステップで達成できます。

1. 特定のグラフの多数のコピー作成します。$H_{n,p}$
2. のいくつかのコピーの特定の部分を互いに識別します（つまり、複数の異なるコピー間の頂点/エッジをマージし）。$H_{n,p}$$H_{n,p}$
3. 一部のコピーから特定の頂点/エッジを削除します。

グラフは、頂点として、コンポーネントが mod加算されるを法とする長さベクトルのセットを持っています。エッジは、2つのコンポーネントのみが異なり、それら2つのコンポーネントでとが異なる2つの頂点ごとに接続します。$H_{n,p}$$n$$p$$0$$p$$+1$$-1$

このグラフには、次のカラーリングを提案します。方向に応じて各エッジに色を割り当てます。場合とYが隣接する頂点であり、その後のx - yが持つベクトルであり、Nは、- 2つの成分が等しい0に、一つの成分に等しい1と等しい一成分- 1。換言すれば、すべてのエッジに対して（X 、Y ）が存在するのどのコンポーネントのオプション$x$（ n$y$$x-y$$n-2$$0$$1$$-1$$(x, y)$${n \choose 2}$$x-y$ゼロ以外です。これらの各オプションに一意の色を割り当てると、同じ方向のすべてのエッジが同じ色になるように、すべてのエッジに色が付けられます。それには二つのエッジことを確認するために、非常に簡単であるにおける同じ方向にありません。したがって、すべてのは、このカラーリングではレインボーです。$K_n$$H_{n,p}$$K_n$$H_{n,p}$$K_n$

削減を追跡する場合、すべてのコピーにこのカラーリングを使用します。したがって、上記のリストのステップ1の最後では、グラフ内のすべてのはレインボーです。$H_{n,p}$$K_n$$K_n$

上記のリストのステップ2で、いくつかの頂点/エッジを互いに識別します。特に、削減では、常にを別の識別します。しかし、この状況（すべてのはコピーからのもの）では、すべてのは、ペーパーがと呼ぶ「標準」の変換か、または変換のいずれかです。したがって、2つの並列または互いの「フリップ」である2つののいずれかを識別しています。どちらの場合も、2つの識別されるエッジ$K_n$$K_n$$K_n$$H_{n,p}$$K_n$$K_n$$K$$-K$$K_n$$K_n$$K_n$は平行であり、したがって同じ色です。たとえば、論文の図2を参照してください。識別されるエッジは常に平行です。したがって、異なる色の2つのエッジを識別しようとしないため、上記のリストのステップ1の終わりのカラーリングは、ステップ2の終わりのカラーリングに自然に拡張できます。特定の頂点/エッジを一緒に特定しても、作成されません。新しいがあるため、このステップの最後でも、すべてのは虹のです。$K_n$$K_n$$K_n$

最後にステップ3で、頂点/エッジをいくつか削除します。これにより、新しいも作成されません。したがって、私たちには望ましい特性があります。私が提供した色付けの下で、この削減によって生成されたグラフのすべてのは虹のです。$K_n$$K_n$$K_n$